Đề chơi căng nhỉ?

a) Dễ chứng minh VP =< 3

BĐT \(\Leftrightarrow\left(\frac{a+b}{1+a}-1\right)+\left(\frac{b+c}{1+b}-1\right)+\left(\frac{c+a}{1+c}-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{b-1}{1+a}+\frac{c-1}{1+b}+\frac{a-1}{1+c}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(b-1\right)^2}{\left(1+a\right)\left(b-1\right)}+\frac{\left(c-1\right)^2}{\left(1+b\right)\left(c-1\right)}+\frac{\left(a-1\right)^2}{\left(1+c\right)\left(a-1\right)}\) >=0

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel vào VT ta có đpcm.

P/s: Èo, sao đơn giản thế nhỉ? Em có làm sai chỗ nào chăng?

a, Ta có \(\frac{a+b}{a+1}=\frac{\left(a+b\right)\left(a+1\right)-a\left(a+b\right)}{a+1}=a+b-\frac{a\left(a+b\right)}{a+1}\)

Mà \(\frac{1}{a+1}\le\frac{a+1}{4a}\)

=> \(\frac{a+b}{1+a}\ge a+b-\frac{\left(a+1\right)\left(a+b\right)}{4}=\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}ab\)

Khi đó

\(Vt\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{1}{4}\left(ab+bc+ac\right)\)

=> \(VT\ge\frac{9}{2}-\frac{1}{4}\left(9-2ab-2bc-2ac\right)-\frac{1}{4}\left(ab+bc+ac\right)\)

=> \(VT\ge\frac{9}{4}+\frac{1}{4}\left(ab+bc+ac\right)\)

Lại có \(ab+bc+ac\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=3\)

=> \(VT\ge ab+bc+ac\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

b,Ta có \(\frac{a}{b\left(a+b^2\right)}=\frac{a+b^2-b^2}{b\left(a+b^2\right)}=\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\)

Mà \(a+b^2\ge2b\sqrt{a}\)

=> \(\frac{a}{b\left(a+b^2\right)}\ge\frac{1}{b}-\frac{1}{2\sqrt{a}}\)

Lại có \(\frac{1}{\sqrt{a.1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+1\right)\)

=> \(\frac{a}{b\left(a+b^2\right)}\ge\frac{1}{b}-\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a}+1\right)\)

Khi đó

\(VT\ge\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{3}{4}\)

Mà \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\)

=> \(VT\ge\frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Bất đẳng thức được viết lại thành

\(\sum\frac{3-a}{1+a}\ge ab+bc+ca\)

Mà \(ab+bc+ca\le3\) nên ta chỉ cần chứng minh

\(\sum\frac{3-a}{1+a}\ge3\)

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau

\(\frac{3-a}{1+a}\ge2-a\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\)

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự ta có điều phải chứng minh

\(VT=\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a}+\frac{ab}{b}+\frac{bc}{b}+\frac{bc}{c}+\frac{ca}{c}+\frac{ca}{a}\right)\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(2a+2b+2c\right)=\frac{1}{2}\) (1)

Mặt khác \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2b\) ; \(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\Rightarrow\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge1\)

\(\Rightarrow VP=\frac{1}{4}\left(1+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge\frac{1}{4}\left(1+1\right)=\frac{1}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bài 1 với bài 2 như nhau, đăng làm gì cho tốn công :))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)

\(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{ca}{b}}=2a\)

\(\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ac}{b}.\frac{bc}{a}}=2c\)

Cộng vế với vế ta được :

\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)(đpcm)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{a}{bc}\) và \(\frac{b}{ca}\) ta có

\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{ab}{abc^2}}=2.\frac{1}{c}\)

Làm tương tự ta được

\(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\)

\(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\)

Cộng theo từng vế rồi chia cho 2. Ta được BĐT cần chứng minh. 

1.

Áp dụng BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{ab}\right)^2+\left(\sqrt{bc}\right)^2+\left(\sqrt{ca}\right)^2\ge\sqrt{ab}.\sqrt{bc}+\sqrt{ab}.\sqrt{ac}+\sqrt{bc}.\sqrt{ac}\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

2.

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt[]{\frac{ab.bc}{ca}}=2b\) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\)

3.

Từ câu b, thay \(c=1\) ta được:

\(ab+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge a+b+1\)

4.

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

5.

\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{ab}{bc.ca}}=\frac{2}{c}\) ; \(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\) ; \(\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

1. bđt được viết lại thành

\(ab+bc+ca\ge a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\)

Theo bđt AM-GM thì :

\(ab+bc\ge2\sqrt{ab\cdot bc}=2\sqrt{ab^2c}=2b\sqrt{ac}\)

Tương tự : \(bc+ca\ge2c\sqrt{ab}\); \(ab+ca\ge2a\sqrt{bc}\)

Cộng vế với vế

=> \(2\left(ab+bc+ca\right)\ge2\left(a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\right)\)

=> \(ab+bc+ca\ge a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\)( đpcm )

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

chịu??? tớ chưa học đến?

Ê,

Why?

bạn ý cũng đưa câu hỏi lên thui mà 

@Nguyen Chau Tuan Kiet : Bn ấy đăng câu hỏi, đúng nội quy sao lại phạm luật ?!

vì \(a+b+c=1\)

\(< =>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\)

\(=3+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}\)

\(=3+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\)

ta có pt:

\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{1}{4}\left(3+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\right)\)

\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{3}{4}+\frac{a^2+b^2}{4ab}+\frac{b^2+c^2}{4bc}+\frac{c^2+a^2}{4ca}\)

áp dụng bđt cô- si( cauchy) gọi pt là P 

\(P\ge2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}\frac{a^2+b^2}{4ab}}+2\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}\frac{b^2+c^2}{4bc}}+2\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}\frac{c^2+a^2}{4ca}}+\frac{3}{4}\)

\(P\ge2\sqrt{\frac{1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{3}{4}\)

\(P\ge2.\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\)

\(P\ge1+1+1+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

<=>ĐPCM

những người làm được thì đi hết rùi hazzzzzzzzz