Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Tiến Tành

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng :

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(1+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)\)

Nguyễn Việt Lâm
19 tháng 11 2019 lúc 11:19

\(VT=\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a}+\frac{ab}{b}+\frac{bc}{b}+\frac{bc}{c}+\frac{ca}{c}+\frac{ca}{a}\right)\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(2a+2b+2c\right)=\frac{1}{2}\) (1)

Mặt khác \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2b\) ; \(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\Rightarrow\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge1\)

\(\Rightarrow VP=\frac{1}{4}\left(1+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge\frac{1}{4}\left(1+1\right)=\frac{1}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
fghj
Xem chi tiết
vvvvvvvv
Xem chi tiết
Lê Minh Triết
Xem chi tiết
Nishimiya shouko
Xem chi tiết
Icarus Chune
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Doãn Hoài Trang
Xem chi tiết
𝓓𝓾𝔂 𝓐𝓷𝓱
Xem chi tiết