Gọi M là trung điểm BC ; N là điểm đối xứng với H qua M.

M là trung điểm của BC và HN nên BNCH là hình bình hành

\(\Rightarrow NC//BH\)

Mà \(BH\perp AC\Rightarrow NC\perp AC\)hay AN là đường kính của đường tròn ( O ) 

Dễ thấy OM là đường trung bình \(\Delta AHN\) suy ra \(OM=\frac{1}{2}AH\)

M là trung điểm BC nên OM \(\perp\)BC

Xét \(\Delta AHG\)và \(\Delta OGM\)có :

\(\widehat{HAG}=\widehat{GMO}\); \(\frac{GM}{GA}=\frac{OM}{HA}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\Delta AGH~\Delta MOG\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AGH}=\widehat{MGO}\)hay H,G,O thẳng hàng

gọi E,F,T lần lượt là trung điểm của AB,CD,BD

Đường thẳng ME cắt NF tại S

Vì AC = BD \(\Rightarrow EQFP\)là hình thoi \(\Rightarrow EF\perp PQ\)( 1 )

Xét \(\Delta TPQ\)và \(\Delta SEF\)có : \(ME\perp AB,TP//AB\)

Tương tự , \(NF\perp CD;\)\(TQ//CD\)

\(\Rightarrow\Delta TPQ~\Delta SEF\)( Góc có cạnh tương ứng vuông góc )

\(\Rightarrow\frac{SE}{SF}=\frac{TP}{TQ}=\frac{AB}{CD}\)

Mặt khác : \(\Delta MAB~\Delta NCD\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\frac{ME}{NF}\)( tỉ số đường cao = tỉ số đồng dạng )

Suy ra : \(\frac{ME}{NF}=\frac{SE}{SF}\)\(\Rightarrow EF//MN\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(MN\perp PQ\)

Bài 4:

a) Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: MN//AC và \(MN=\dfrac{AC}{2}\)(1)

Xét ΔADC có 

Q là trung điểm của AD

P là trung điểm của CD

Do đó: QP là đường trung bình của ΔADC

Suy ra: QP//AC và \(QP=\dfrac{AC}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra MN//QP và MN=QP

Xét tứ giác MNPQ có 

MN//QP(cmt)

MN=QP(cmt)

Do đó: MNPQ là hình bình hành

Xét ΔABD có 

Q là trung điểm của AD

M là trung điểm của AB

Do đó: QM là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: QM//DB và \(QM=\dfrac{DB}{2}\)

hay \(QM=\dfrac{AC}{2}\)(3)

Từ (2) và (3) suy ra QM=QP

Hình bình hành MNPQ có QM=QP(cmt)

nên MNPQ là hình thoi

a) Xét ΔABD có 

M là trung điểm của AB(gt)

Q là trung điểm của AD(gt)

Do đó: MQ là đường trung bình của ΔABD(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: MQ//BD và \(MQ=\dfrac{BD}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Xét ΔCBD có 

N là trung điểm của BC(gt)

P là trung điểm của CD(gt)

Do đó: NP là đường trung bình của ΔCBD(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: NP//BD và \(NP=\dfrac{BD}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)

Từ (1) và (2) suy ra MQ//NP và MQ=NP

Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB(gt)

N là trung điểm của BC(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: MN//AC và \(MN=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà AC=BD(gt)

và \(NP=\dfrac{BD}{2}\)(cmt)

nên MN=NP

Xét tứ giác MQPN có

MQ//NP(cmt)

MQ=NP(cmt)

Do đó: MQPN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành MQPN có MN=NP(cmt)

nên MQPN là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)

Ta có: MQPN là hình thoi(cmt)

nên MP\(\perp\)QN(Hai đường chéo của hình thoi MQPN)

Gọi G,H,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,AC. Giao điểm của MG và NH là I.

Ta thấy \(\Delta\)CDN cân tại N có H là trung điểm cạnh CD => NH vuông góc CD => IH vuông góc CD

Mà EK là đường trung bình trong \(\Delta\)ACD nên IH vuông góc EK (1)

Dễ dàng chứng minh tứ giác EHFG là hình thoi => EF vuông góc GH (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^IHG = ^KEF (Vì 2 góc này cùng phụ với góc hợp bởi EF và IH)

Tương tự ^IGH = ^KFE. Từ đó \(\Delta\)GIH ~ \(\Delta\)FKE (g.g) => \(\frac{IG}{IH}=\frac{KF}{KE}=\frac{AB}{CD}=\frac{BG}{CH}\)

Ta lại có \(\Delta\)MGB ~ \(\Delta\)NHC (g.g)  => \(\frac{BG}{CH}=\frac{MG}{NH}\). Do vậy \(\frac{IG}{IH}=\frac{MG}{NH}\)

Áp dụng ĐL Thales đảo vào \(\Delta\)MIN ta được GH // MN

Mà EF vuông góc GH (cmt) nên EF vuông góc MN (đpcm).