Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau. Về phía ngoài của tứ giác dựng các tam giác cân đồng dạng AMB và CND (cân tại M, N tương ứng). Gọi P, Q, E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC, AB, CD. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác PEQF là hình thoi;
b) PQ và MN vuông góc với nhau.
Giup mik voi! Mik can gap! Cam on mn
a) Dễ thấy PE là đường trung bình của \(\Delta ABD\)\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}BD\)
Tương tự : \(QE=\frac{1}{2}AC;QF=\frac{1}{2}BD;PF=\frac{1}{2}AC\)
Theo bài toán, BD = AC nên \(PE=EQ=QF=PF\)
Suy ra PEQF là hình thoi
b) Gọi K là trung điểm của BD . Đường thẳng ME cắt NF tại S
Vì PEQF là hình thoi nên \(EF\perp PQ\)( * )
Xét \(\Delta KQP\)và \(\Delta SFE\)có :
\(ME\perp AB\) ; \(PK//AB\)\(\Rightarrow ME\perp PK\)
Tương tự : \(NF\perp QK\)
\(\Rightarrow\Delta KQP\approx\Delta SFE\)( góc có cạnh tương ứng vuông góc )
\(\Rightarrow\frac{SE}{SF}=\frac{KP}{KQ}=\frac{AB}{CD}\)( 1 )
Vì \(\Delta MAB\approx\Delta NCD\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\frac{ME}{NF}\)( tỉ số đồng dạng bằng tỉ số đường cao ) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : \(\frac{SE}{SF}=\frac{ME}{NF}\Rightarrow EF//MN\)( ** )
Từ ( * ) và ( ** ) suy ra : \(PQ\perp MN\)
Gọi E và F là trung điểm của AB và DC tương ứng.
Ta cm 2 vấn đề sau:
1) EF vuông góc với PQ
2) EF // MN
Sơ lược hướng đi là như vậy nha, mai chị sẽ đăng bài cụ thể nhé
Hình vẽ thì bạn tự dựng nha.
Gọi E,F là trung điểm của AB,CD tương ứng
Lần lượt cm các điều sau:
Tương tự:
Cộng theo vế (1) và (2) suy ra
