Từ điểm A nằm ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với (O). Đường thẳng vuông góc với BO tại O và đường thẳng vuông góc với CO tại O lần lượt cắt AC, AB tại N và M.
a) CM: AMON hình thoi.
b) A cách O bao nhiêu để MN là tiếp tuyến (O).
Cho đtròn(O;R) và điểm A nằm cách O 1 khoảng bằng 2R.Từ A vẽ các ttuyến AB,AC với đường trong(B,C)là tiếp điểm .đường thẳng vuông góc với OB cắt AC tại N, đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M
a)cmr AMON là hình thoi
b)đường thẳng MN là t tuyến của đtròn (O)
c)tính diện tích hình thoi AMON
a và b mk giả ra rồi các bạn giải giúp mk câu c vs
Cho đường tròn (o;r) và một điểm A nằm cách O một khoảng bằng 2R từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B,C là các tiếp điểm) đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt AC tại N, đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M
a, Tính sinOAB, tanOAB
b,chứng minh OM song song AC ,ON song song AB
c,chứng minh tứ giác AMON là hình thoi từ đó chứng tỏ MN là tiếp tuyến của đường tròn
d, tính diện tích hình thoi AMON
Mọi người giúp e bài này với, e cần gấp, cảm ơn mọi người nhiều
Từ điểm A bên ngoài đường thẳng o bán kính r, vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC của o. Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt tia AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC cắt AB tại N
a. Cm AMON là hình thoi
b. Điểm A phai cách O một khoảng là bao nhiêu để MN là tiếp tuyến của O.
\(\Rightarrow AO\)
a.Vì AB,AC là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow OC\perp AC,OB\perp AB\Rightarrow ON//AB,OM//AC\)
\(\Rightarrow AMON\) là hình bình hành
Mà AB,AC là tiếp tuyến của (O) là phân giác \(\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow AO\)là phân giác \(\widehat{MAN}\)
\(\Rightarrow AMON\) là hình thoi
b ) Gọi AO∩MN=D
Vì AMON là hình thoi \(\Rightarrow AO\perp MN=D\Rightarrow AD=2OD\)
\(\Rightarrow\)Để MN là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow OD=R\Rightarrow OA=2OD=2R\)
Dễ có AMON là hình bình hành (ON // AM; OM // AN)
Ta chứng minh OM = ON
Xét tam giác OBM và tam giác OCN có:
ˆOBM=ˆOCN = 90oOBM^=OCN^ = 90o;
OB = OC = R,
và ˆOMB=ˆOCN=ˆAOMB^=OCN^=A^
⇒ ΔOBM = ΔOCN⇒ ∆OBM = ∆OCN
⇒ OM = ON ⇒ AMON⇒ OM = ON ⇒ AMON là hình thoi
HT...
CRE: TRONG ẢNH
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (o), vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (o), (B,C là tiếp điểm). Qua O, kẻ đường thẳng m vuông góc với OC, qua A, kẻ đường thẳng n vuông góc với AC, 2 đường thẳng m và n cắt nhau tại D. OA cắt BC tại H.
Gọi M,N lần lượt là trung điểm OD, AH. Chứng minh MN vuông góc CN
Cho đường tròn (O;R) và điểm A cách O một khoảng 2R. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thảng vuông góc với OB tại O cắt AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M.
a/ Chứng minh: AMON là hình thoi
b/ Chứng minh: MN là tiếp tuyến của đường tròn
c/ Tính diện tích AMON
a) Do AB là tiếp tuyến của (O) (GT) => OB vuông góc với AB (ĐL)
Mà OB vuông góc với ON (GT) => AB // ON (từ vuông góc -> //) hay AM // ON
Cm tương tự => AN // OM
Do 2 tiếp tuyến AB và AC cắt nhau tại A (GT) => OA phân giác góc BAC (t/c tiếp tuyến) hay OA phân giác góc MAN
Xét tứ giác AMON có: AM // ON, AN // OM, OA phân giác góc MAN (cmt) => AMON là hình thoi (dhnb)
b) Đặt I là trung điểm OA => OI = OA/2 = 2R/2 = R hay OI là bán kính của (O)
Do AMON là hình thoi (cmt) => OA vuông góc với MN tại I (t/c) hay OI vuông góc với MN tại I
Mà OI là bán kính của (O) => MN là tiếp tuyến của (O) (định lý)
c) Xét tam giác OAB có OA vuông góc với AB (cmt) \(\Rightarrow\sin OAB=\frac{OB}{AB}=\frac{1}{2}\) => góc OAB = 30o => góc ION = 30o (so le)
Xét hình thoi AMON có OA cắt MN tại I (cmt) => I là trung điểm MN (t/c) hay IN = IM = MN/2
Xét tam giác ION có góc OIN = 90o, góc ION = 30o(cmt) \(\Rightarrow OI=IN.\cos ION=\frac{MN}{2}.\cos30^o\Rightarrow MN=\frac{4.OI}{\sqrt{3}}=\frac{4R}{\sqrt{3}}\)
\(S_{AMON}=\frac{1}{2}.OA.MN=\frac{1}{2}.2R.\frac{4R}{\sqrt{3}}=\frac{4R^2}{\sqrt{3}}\)
Từ điểm M nằm ngoài (O), kẻ tiếp tuyến MA với (O), (A là tiếp điểm). Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với OM tại H và cắt (O) tại B ( B khác A). Kẻ đường kính AC của (O). Tiếp tuyến tại C của (O) cắt đường thẳng AB tại E. a) CM: 4 điểm E,H,O,C cùng thuộc 1 đường tròn b) CM: Tam giác AMB cân c) CM: BE.BM=BC.BO
a. Em tự giải
b.
\(\Delta OAB\) cân tại O (do \(OA=OB=R\), mà \(OH\) là đường vuông góc (do OH vuông góc AB)
\(\Rightarrow OH\) đồng thời là trung tuyến và trung trực của AB
Hay OM là trung trực của AB
\(\Rightarrow MA=MB\Rightarrow\Delta MAB\) cân tại M
c.
Do EC là tiếp tuyến tại C \(\Rightarrow EC\perp AC\)
MA là tiếp tuyến tại A \(\Rightarrow MA\perp AC\)
\(\Rightarrow EC||MA\Rightarrow\widehat{MAH}=\widehat{CEB}\) (so le trong)
Mà \(\widehat{MAH}=\widehat{MOA}\) (cùng phụ \(\widehat{AMH}\))
\(\Rightarrow\widehat{CEB}=\widehat{MOA}\)
Xét hai tam giác CEB và MOA có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CEB}=\widehat{MOA}\left(cmt\right)\\\widehat{CBE}=\widehat{MAO}=90^0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta CEB\sim\Delta MOA\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{BE}{OA}=\dfrac{BC}{AM}\Rightarrow BE.AM=BC.OA\)
Mà \(MA=MB\) (theo cm câu b) và \(OA=BO=R\)
\(\Rightarrow BE.BM=BC.BO\)
a: Xét tứ giác EHOC có \(\widehat{EHO}+\widehat{ECO}=90^0+90^0=180^0\)
nên EHOC là tứ giác nội tiếp
=>E,H,O,C cùng thuộc một đường tròn
b: Ta có: ΔOAB cân tại O
mà OH là đường cao
nên OH là phân giác của góc AOB
Xét ΔAOM và ΔBOM có
OA=OB
\(\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\)
OM chung
Do đó: ΔAOM=ΔBOM
=>MA=MB
=>ΔMAB cân tại M
c: Ta có: ΔAOM=ΔBOM
=>\(\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^0\)
Xét tứ giác OAMB có \(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=90^0+90^0=180^0\)
nên OAMB là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{OMB}=\widehat{OAB}=\widehat{CAB}\left(1\right)\)
Xét (O) có
\(\widehat{CAB}\) là góc nội tiếp chắn cung CB
\(\widehat{ECB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CE và dây cung CB
Do đó: \(\widehat{CAB}=\widehat{ECB}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\widehat{OMB}=\widehat{ECB}\)
Xét ΔOMB và ΔECB có
\(\widehat{OMB}=\widehat{ECB}\)
\(\widehat{OBM}=\widehat{EBC}=90^0\)
Do đó: ΔOMB~ΔECB
=>\(\dfrac{BO}{BE}=\dfrac{BM}{BC}\)
=>\(BO\cdot BC=BM\cdot BE\)
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B, C là tiếp điểm). Kẻ đường kính BD, đường thẳng vuông góc với BD tại O cắt đường thẳng DC tại E. a) Chứng minh OA vuông góc BC
bạn ghi nốt đề đi, mình giúp tiếp nhé
a, Vì AB = AC ( tc tiếp tuyến )
OC = OB = R
Vậy OA là đường trung trực đoạn BC
=> AO vuông BC
b) Biết R = 5 cm, AB = 12 cm. Tính BC?
c) Chứng minh tứ giác AEDO là hình bình hành.
đây nhé bn
b, Vì AB là tiếp tuyến đường tròn (O) => ^ABO = 900
AO vuông BC ( AO là đường trung trực )
Gọi AO giao BC = H
Xét tam giác ABO vuông tại O, đường cao BH
Áp dụng hệ thức : \(\frac{1}{BH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{1}{144}+\frac{1}{25}=\frac{25+144}{144.25}\Rightarrow BH=\frac{12.5}{13}=\frac{60}{13}\)cm
Vì OH vuông BC => H là trung điểm BC => BC = 2BH = \(\frac{120}{13}\)cm
c, Vì AO vuông BC
^BCD = 900 ( góc nt chắn nửa đường tròn ) => CD vuông BC
=> AO // CD mà E thuộc DC hay AO // DE
bạn cm nốt AE // DO nữa là được nhé, nhưng hình mình vẽ ko đc song song và mình nhìn nãy giờ chả ra gì :v
Cho điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC lần lượt tại B, C của (O). 1) Chứng minh OA vuông góc với BC. 2) Vẽ đường kính BD của (O). Chứng minh CD song song với OA. 3) Đường thẳng đi qua điểm O vuông góc với AD cắt đường thẳng BC tại điểm E. Chứng minh rằng: ED là tiếp tuyến của (O). giúp em câu c với ạ(dùng kiến thức học kì 1 lớp 9 ạ)
1: Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC
2: Xét (O) có
ΔBCD nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBCD vuông tại C
=>BC\(\perp\)CD
BC\(\perp\)CD
BC\(\perp\)OA
Do đó: CD//OA
3: Gọi giao điểm của OE và AD là H
OE\(\perp\)AD
nên OE\(\perp\)AD tại H
Gọi giao điểm của BC và OA là K
OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại trung điểm của BC
=>OA\(\perp\)BC tại K và K là trung điểm của BC
Xét ΔOBA vuông tại B có BK là đường cao
nên \(OK\cdot OA=OB^2\)
Xét ΔOHA vuông tại H và ΔOKE vuông tại K có
\(\widehat{HOA}\) chung
Do đó: ΔOHA đồng dạng với ΔOKE
=>\(\dfrac{OH}{OK}=\dfrac{OA}{OE}\)
=>\(OH\cdot OE=OA\cdot OK=OB^2\)
=>\(OH\cdot OE=OD^2\)
=>\(\dfrac{OH}{OD}=\dfrac{OD}{OE}\)
Xét ΔOHD và ΔODE có
\(\dfrac{OH}{OD}=\dfrac{OD}{OE}\)
\(\widehat{HOD}\) chung
Do đó: ΔOHD đồng dạng với ΔODE
=>\(\widehat{OHD}=\widehat{ODE}=90^0\)
=>ED là tiếp tuyến của (O)
Để giải câu c, ta sẽ sử dụng các kiến thức về góc nội tiếp và góc ngoại tiếp của đường tròn.
Vì AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên ta có:
∠OAB = ∠OCA (góc nội tiếp chắn cung AC)
∠OBA = ∠OAC (góc nội tiếp chắn cung AB)
Ta cũng biết rằng OA vuông góc với AB
Do đó, ta có:
∠OAB = ∠OBA (cùng là góc ngoại tiếp chắn cung AB)
∠OCA = ∠OAC (cùng là góc ngoại tiếp chắn cung AC)
Từ đó, ta suy ra:
∠OAB = ∠OBA = ∠OCA = ∠OAC
Vậy tứ giác OBCA là tứ giác nội tiếp.
Theo định lý góc nội tiếp, ta có:
∠OBC = ∠OAC (góc chắn cung AC)
∠OCB = ∠OAB (góc chắn cung AB)
Vì ∠OAB = ∠OBA và ∠OBC = ∠OCB, nên ta có:
∠OBC = ∠OCB
Do đó, tam giác OBC là tam giác cân tại O.
Vì tam giác OBC là tam giác cân, nên đường trung tuyến BD của tam giác OBC là đường cao và đường phân giác của tam giác OBC.
Vậy, ta có:
BD ⊥ OC (đường cao của tam giác OBC)
BD là đường phân giác của ∠OBC (đường phân giác của tam giác OBC)
Do đó, ta có:
∠BDC = ∠OBC/2 (do BD là đường phân giác của ∠OBC)
Vì ∠OBC = ∠OCB, nên ta có:
∠BDC = ∠OCB/2
Vì ∠OCB = ∠OCA (cùng là góc ngoại tiếp chắn cung AC), nên ta có:
∠BDC = ∠OCA/2
Vậy, ta suy ra:
∠BDC = ∠OCA/2
Như vậy, ta có:
∠BDC = ∠OCA/2 = ∠OAC/2 (do ∠OCA = ∠OAC)
Do đó, CD song song với OA.
Tiếp theo, ta chứng minh rằng ED là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Vì ∠OAB = ∠OBA và ∠OCA = ∠OAC, nên ta có:
∠OAB = ∠OBA = ∠OCA = ∠OAC
Vậy tứ giác OBCA là tứ giác nội tiếp.
Theo định lý góc nội tiếp, ta có:
∠OBC = ∠OAC (góc chắn cung AC)
∠OCB = ∠OAB (góc chắn cung AB)
Vì ∠OAB = ∠OBA và ∠OBC = ∠OCB, nên ta có:
∠OBC = ∠OCB
Do đó, tam giác OBC là tam giác cân tại O.
Vì tam giác OBC là tam giác cân, nên đường trung tuyến BD của tam giác OBC là đường cao và đường phân giác của tam giác OBC.
Vậy, ta có:
BD ⊥ OC (đường cao của tam giác OBC)
BD là đường phân giác của ∠OBC (đường phân giác của tam giác OBC)
Do đó, ta có:
∠BDC = ∠OBC/2 (do BD là đường phân giác của ∠OBC)
Cho (O;R).A nằm ngoài đường tròn sao cho OA=2R.Kẻ tiếp tuyến AB và AC với (O) (B,C là tiếp điểm) Đoạn thẳng OA cắt (O) tại I đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K a) chứng minh tam giác OAK cân tại A b)CB vuông góc với OA c) Đường thẳng KI cắt AB tại M. Chứng minh KM là tiếp tuyến của (O)
b: Xét (O) có
AB là tiếp tuyến
AC là tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
hay A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
nên O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA⊥BC