Cho phương trình:\(^{m^2x-m=4x-2}\)(x là ẩn).Định m để phương trình:
a) có một nghiệm duy nhất
b) vô nghiệm
c) nghiệm đung với mọi \(x\in R\)
Bài 1: Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=3m-1\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\) (m là tham số). Tìm các giá trị tham số m để hệ phương trình:
a) Có nghiệm duy nhất
b) Vô nghiệm
c) Vô số nghiệm
Bài 2: Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x-\left(m+1\right)y=1\\4x-y=-2\end{matrix}\right.\) (m là tham số). Tìm các giá trị m nguyên để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) sao cho x và y nguyên.
Bài 1:
- Với \(m=0\) ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}0x+y=3.0-1\\x+0y=0+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy với \(m=0\) hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
- Với \(m\ne0\), ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=3m-1\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m^2x-my=-3m^2+m\\x+my=m+1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(1-m^2\right)x=-3m^2+2m+1\left(1\right)\)
- Với \(m=1\). Thế vào (1) ta được:
\(0x=0\) (phương trình vô số nghiệm).
\(\left(2\right)\Rightarrow x+y=2\Leftrightarrow y=2-x\)
- Vậy với \(m=1\) thì hệ đã cho có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát có dạng \(\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=2-x\end{matrix}\right.\)
Với \(m=-1\). Thế vào (1) ta được:
\(0x=-4\) (phương trình vô nghiệm)
Vậy với \(m=-1\) thì hệ đã cho vô nghiệm
Với \(m\ne\pm1,0\).
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x=\dfrac{-3m^2+2m+1}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-3m^2+3m-m+1}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3m\left(1-m\right)+\left(1-m\right)}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\left(1-m\right)\left(3m+1\right)}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3m+1}{m+1}\)
Thay vào (2) ta được:
\(\dfrac{3m+1}{m+1}+my=m+1\)
\(\Leftrightarrow3m+1+my\left(m+1\right)=\left(m+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3m+1+my\left(m+1\right)=m^2+2m+1\)
\(\Leftrightarrow my\left(m+1\right)=m^2-m\)
\(\Leftrightarrow y=\dfrac{m\left(m-1\right)}{m\left(m+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow y=\dfrac{m-1}{m+1}\)
Vậy với \(m\ne\pm1\) thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3m+1}{m+1};\dfrac{m-1}{m+1}\right)\).
Bài 2:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-\left(m+1\right)y=1\left(2\right)\\4x-y=-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4x+4\left(m+1\right)y=-4\\4x-y=-2\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4\left(m+1\right)y-y=-6\)
\(\Leftrightarrow\left(4m+3\right)y=-6\)
\(\Rightarrow y=-\dfrac{6}{4m+3}\)
Để y nguyên thì:
\(6⋮\left(4m+3\right)\)
\(\Rightarrow\left(4m+3\right)\inƯ\left(6\right)\)
\(\Rightarrow4m+3\in\left\{1;2;3;6;-1;-2;-3;-6\right\}\)
4m+3 | 1 | 2 | 3 | 6 | -1 | -2 | -3 | -6 |
m | -1/2 (loại) | -1/4 (loại) | 0 (nhận) | 3/4 (loại) | -1 (nhận) | -5/4 (loại) | -3/2 (loại) | -9/4 (loại) |
\(\Rightarrow m\in\left\{0;-1\right\}\)
Với \(m=0\) ta có \(y=-\dfrac{6}{4.0+3}=-2\)
Thay vào (1) ta được:
\(4x-\left(-2\right)=-2\Leftrightarrow x=-1\)
Thử lại \(x=-1;y=-2\) cho (2) ta thấy phương trình nghiệm đúng.
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(-1;-2\right)\) là 1 nghiệm nguyên của hệ phương trình.
Với \(m=-1\) ta có \(y=-\dfrac{6}{4.\left(-1\right)+3}=6\)
Thay \(y=6\) vào (2) ta được:
\(4x-6=-2\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
Thử lại \(x=1;y=6\) cho (2) ta thấy pt nghiệm đúng.
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(1;6\right)\) là 1 nghiệm nguyên của hệ phương trình.
Tìm m để hệ phương trình mx+ y = m + 1 và x+ my = 2
a)Có 1 nghiệm duy nhất
b)Vô nghiệm
c)Vô số nghiệm
Cho bất phương trình 2x+y>3. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
B. Bất phương trình đã cho vô nghiệm
C. Bất phương trình đã cho có vô số nghiệm
D. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \(\left[ {3; + \infty } \right)\)
Bất phương trình 2x+y > 3 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn và có vô số nghiệm.
Chọn C.
a) Chứng minh rằng \(\forall\) x, phương trình sau vô nghiệm
\(\left|x-1\right|+\left|2-x\right|=-4x^2+12x-10\)
b)Cho phương trình: \(m^2+m^2x=4m+21-3mx\) (x là ẩn)
Tìm m để phương trình trên có nghiệm dương duy nhất.
\(VT=\left|x-1\right|+\left|2-x\right|\ge\left|x-1+2-x\right|=1\)
\(VP=-4x^2+12x-9-1=-\left(2x-3\right)^2-1\le-1\)
\(\Rightarrow VT>VP\) ; \(\forall x\)
\(\Rightarrow\) Pt đã cho luôn luôn vô nghiệm
b.
\(\Leftrightarrow\left(m^2+3m\right)x=-m^2+4m+21\)
\(\Leftrightarrow m\left(m+3\right)x=\left(7-m\right)\left(m+3\right)\)
Để pt có nghiệm duy nhất \(\Rightarrow m\left(m+3\right)\ne0\Rightarrow m\ne\left\{0;-3\right\}\)
Khi đó ta có: \(x=\dfrac{\left(7-m\right)\left(m+3\right)}{m\left(m+3\right)}=\dfrac{7-m}{m}\)
Để nghiệm pt dương
\(\Leftrightarrow\dfrac{7-m}{m}>0\Leftrightarrow0< m< 7\)
Cho phương trình m2x - 4x = 2m + 4 (*) ( với x là ẩn , m là tham số ) . Xác định m để phương trình (*) có nghiệm duy nhất là x= -1
Thay x=-1 vào (*), ta được:
\(-m^2+4=2m+4\)
\(\Leftrightarrow-m^2-2m=4-4\)
\(\Leftrightarrow-m\left(m+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-m=0\)hoặc \(m+2=0\)
\(\Leftrightarrow m=0\)hoặc \(m=-2\)
Vậy khi m = 0, m = -2 thì (*) có nghiệm duy nhất là x = -1
bài tập: cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=1\\\\mx+y=1\end{matrix}\right.\) (m là tham số )
a, Giaỉ hệ phương trình khi m=1,m=-1,m=2
b,Tìm m để hệ phương trình đã cho
b.1, có nghiệm duy nhất
b.2,vô nghiệm
b.3,có vô số nghiệm
c,Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất \(x+2y=3\)
thankyou
Lời giải:
a) Khi $m=1$ thì HPT trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ x+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x+y=1\Leftrightarrow y=1-x\)
Khi đó, hệ có nghiệm $(x,y)=(a,1-a)$ với $a$ là số thực bất kỳ.
Khi $m=-1$ thì hệ trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} x-y=1\\ -x+y=1\end{matrix}\right.\Rightarrow (x-y)+(-x+y)=2\Leftrightarrow 0=2\) (vô lý)
Vậy HPT vô nghiệm
Khi $m=2$ thì hệ trở thành: \(\left\{\begin{matrix} x+2y=1\\ 2x+y=1\end{matrix}\right.\Rightarrow (x+2y)-(2x+y)=1-1=0\Leftrightarrow y-x=0\Leftrightarrow x=y\)
Thay $x=y$ vào 1 trong 2 PT của hệ thì có: $3x=3y=1\Rightarrow x=y=\frac{1}{3}$Vậy........
b)
PT $(1)\Rightarrow x=1-my$. Thay vào PT $(2)$ có:
$m(1-my)+y=1\Leftrightarrow y(1-m^2)=1-m(*)$
b.1
Để HPT có nghiệm duy nhất thì $(*)$ có nghiệm $y$ duy nhất
Điều này xảy ra khi $1-m^2\neq 0\Leftrightarrow (1-m)(1+m)\neq 0$
$\Leftrightarrow m\neq \pm 1$
b.2 Để HPT vô nghiệm thì $(*)$ vô nghiệm $y$. Điều này xảy ra khi $1-m^2=0$ và $1-m\neq 0$
$\Leftrightarrow m=-1$
b.3 Để HPT vô số nghiệm thì $(*)$ vô số nghiệm $y$. Điều này xảy ra khi $1-m^2=0$ và $1-m=0$
$\Leftrightarrow m=1$
c) Ở b.1 ta có với $m\neq \pm 1$ thì $(*)$ có nghiệm duy nhất $y=\frac{1}{m+1}$
$x=1-my=\frac{1}{m+1}$
Thay vào $x+2y=3$ thì:
$\frac{3}{m+1}=3\Leftrightarrow m=0$
Cho hệ phương trình ẩn x,y,m là tham số: x+2y=m và 2x+my=8
a)Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
b)Chứng minh:hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi m
a/ x+ 2y = m => x = m -2y. Thế vào phương trình 2x +my = 8 ta được
2(m-2y) +my = 8 => -4y +my = 8-2m => (m-4)y = 8-2m
Nếu m = 4 => 0.y = 0 luôn đúng => hệ có vô số nghiệm
Nếu m khác 4 => y = (8-2m)/ (m-4 ) => x = m - 2(8-2m)/ (m-4) = (m2 -16)/ (m-4). Khi đó, hệ có nghiệm duy nhất
Vậy hệ đã cho có nghiệm với mọi m, và khi m khác 4 thì hệ có nghiệm duy nhất
Wryyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
Bài 1: Cho hệ phương trình : \(\left\{{}\begin{matrix}mx-y=2m\\4x-my=6+m\end{matrix}\right.\)
a) Với giá trị của m thì hpt có nghiệm suy nhất
b) Với giá trị của m thì hpt có vô số nghiệm
c) Với giá trị của m thì hpt vô nghiệm
(mink đag cần gấp)
a) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m}{4}\ne\dfrac{-1}{-m}\)
\(\Leftrightarrow-m^2\ne-4\)
\(\Leftrightarrow m^2\ne4\)
hay \(m\notin\left\{2;-2\right\}\)