\(\Leftrightarrow2cos^2x+4cosx-1=-m\)

Xét \(f\left(x\right)=2cos^2x+4cosx-1\)

\(f\left(x\right)=2cos^2x+4cosx+2-3=2\left(cosx+1\right)^2-3\ge-3\)

\(f\left(x\right)=2cos^2x+4cosx-6+5=2\left(cosx-1\right)\left(cosx+3\right)+5\le5\)

\(\Rightarrow-3\le-m\le5\Rightarrow-5\le m\le3\)

Đáp án C.

Ta có

Đáp án D

Ta có:  P T ⇔ 2 cos 2 x − 1 − 4 cos x = m

→ t − cos x f t = 2 t 2 − 4 t − 1 = m t ∈ − 1 ; 1

Khi đó: f ' t = 4 t − 4 = 0 ⇔ t = 1

Lại có: f 1 = 5 ; f 1 = − 3  do đó PT đã cho có nghiệm

⇔ m ∈ − 3 ; 5 ⇒  có 9 giá trị nguyên của m

Đáp án C

Ta có 

cos 2 x − 4 cos x − m = 0 ⇔ 2 cos 2 x − 1 − 4 cos x − m = 0 ⇔ 2 cos 2 x − 4 cos x − 1 = m     *

Đặt t = cos x ∈ − 1 ; 1 , khi đó  * ⇔ m = f t = 2 t 2 − 4 t − 1         I .

Suy ra f t  là hàm số nghịch biến trên − 1 ; 1  nên để I  có nghiệm  − 3 ≤ m ≤ 5

Vậy có tất cả 9 giá trị nguyên của tham số m cần tìm

Đáp án A

*Phương trình m + 3 m + 3 sin   x 3 3 = sin   x ⇔ m + 3 m + 3 sin   x 3 = sin 3 x  

⇔ ( m + 3 sin   x ) + 3 m + 3 sin   x 3 = sin 3 x + 3 sin   x       ( 1 )

* Xét hàm số f ( t ) = t 3 + 3 t  trên ℝ . Ta có f ' ( t ) = 3 t 2 + 3 > 0 ∀ t ∈ ℝ  nên hàm số f(t) đồng biến trên ℝ .

Suy ra (1)  f 3 + 3 sin   x 3 f ( sin   x ) ⇔ 3 + 3 sin   x 3 = sin   x

Đặt sin x = t, t ∈ [ - 1 ; 1 ]  Phương trình trở thành  t 3 - 3 t = m

* Xét hàm số g(t) trên t ∈ - 1 ; 1  Ta có g ' ( t ) = 3 t 2 - 3 ≤ 0 , ∀ t ∈ [ - 1 ; 1 ]  và g ' ( t ) = 0 ⇔ t = ± 1  Suy ra hàm số g(t) nghịch biến trên [-1;1]

* Để phương trình có nghiệm đã cho có nghiệm thực  ⇔ Phương trình t 3 - 3 t = m  có nghiệm trên [-1;1]

m i n [ - 1 ; 1 ] g ( t ) ≤ m ≤ m a x [ - 1 ; 1 ] g ( t ) ⇔ g ( 1 ) ≤ m ≤ g ( - 1 ) ⇔ - 2 ≤ m ≤ 2

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn là  m ∈ - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2

Đáp án C.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:  

m . s inx+4cosx 2 ≤ m 2 + 4 2 sin 2 x + c os 2 x = m 2 + 16.

Nên để phương trình đã cho có nghiệm   ⇔   3 m − 5 2 ≤ m 2 + 16 ⇔ 3 m 2 20 m + 9 ≤ 0.

Kết hợp với m ∈ ℤ ,  ta được m = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6  là giá trị cần tìm.

\(3sin\left(2x-\dfrac{\pi}{5}\right)+1=m\)

\(\Leftrightarrow sin\left(2x-\dfrac{\pi}{5}\right)=\dfrac{m-1}{3}\)

Phương trình có nghiệm khi:

\(-1\le\dfrac{m-1}{3}\le1\)

\(\Leftrightarrow-2\le m\le4\)

\(\Rightarrow m\in\left[-2;4\right]\)

\(\Rightarrow b-a=6\)