\(\frac{x^3}{2x+3y+5z}+\frac{y^3}{2y+3z+5x}+\frac{z^3}{2z+3x+5y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3zy+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\)

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số

\(\Rightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2x^2+2y^2+2z^2+8xy+8yz+8xz}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)

Xét \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\\y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\\x^2+z^2\ge2\sqrt{x^2z^2}=2xz\end{matrix}\right.\)

Cộng từng vế:

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)

\(\Rightarrow8\left(xy+yz+xz\right)\le8\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)\le10\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{10\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{10}\)

Ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{10}\ge\frac{1}{30}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{1}{30}\)

Vì \(\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{1}{30}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{2x+3y+5z}+\frac{y^3}{2y+3z+5x}+\frac{z^3}{2z+3x+5y}\ge\frac{1}{30}\) ( đpcm )

chịu chết

\(\frac{1}{x^3y^3}+\frac{1}{x^3y^3}+1\ge\frac{3}{x^2y^2}\) ; \(\frac{y^3}{z^3}+\frac{y^3}{z^3}+1\ge\frac{3y^2}{z^2}\) ; \(x^3z^3+x^3z^3+1\ge3x^2z^2\)

\(\Rightarrow2VT+3\ge2\left(\frac{1}{x^2y^2}+\frac{y^2}{z^2}+x^2z^2\right)+\left(\frac{1}{x^2y^2}+\frac{y^2}{z^2}+x^2z^2\right)\ge2\left(\frac{1}{x^2y^2}+\frac{y^2}{z^2}+x^2z^2\right)+3\sqrt[3]{\frac{x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

\(taco:\)

\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}=\frac{3}{2}\)

\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{y\left(y+1\right)}.\frac{y}{2}.\frac{y+1}{4}}=\frac{3}{2}\)

\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{z\left(z+1\right)}.\frac{z}{2}.\frac{z+1}{4}}=\frac{3}{2}\)

\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z+3}{4}\ge\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{2}\left(dpcm\right)\)

^^

Mình giải lại bài này cho đầy đủ hơn nhé: (nãy chỉ là hướng dẫn thôi)

Ta sẽ c/m: \(\frac{1}{x^2+x}\ge-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}\) (1).Thật vậy,xét hiệu hai vế,ta có:

\(VT-VP=\frac{\left(3x+4\right)\left(x-1\right)^2}{4\left(x^2+x\right)}\ge0\)

Suy ra \(VT\ge VP\).Vậy (1) đúng.

Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế,ta có:

\(VT\ge-\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{5}{4}.3=\frac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)

fgffgfg

\(P+3=x+\left(y^2+1\right)+\left(z^3+1+1\right)\ge x+2y+3z\)

\(\Rightarrow P\ge x+2y+3z-3\)

\(6=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{2y}+\dfrac{9}{3z}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{x+2y+3z}\)

\(\Rightarrow x+2y+3z\ge6\Rightarrow P\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

đề phải là 1x+2/y+3/z chứ nhỉ

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d}=\frac{16}{a+b+c+d}\)ta có :

\(\frac{16}{3x+3y+2z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\)

\(\frac{16}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\)

\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\)

Cộng theo vế 3 đẳng thức trên ta được :

\(16.\left(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\right)\)

\(\le4.\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=4.6=24\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{3}{2}\)

Câu hỏi của NGUYỄN DOÃN ANH THÁI - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Câu hỏi của NGUYỄN DOÃN ANH THÁI - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

ta có \(\frac{1}{x^2+x}+\frac{x^2+x}{4}>=2\cdot\sqrt{\frac{1\cdot\left(x^2+x\right)}{\left(x^2+x\right)\cdot4}}=1\)

tương tự => \(\frac{1}{y^2+y}+\frac{y^2+y}{4}>=1;\frac{1}{z^2+z}+\frac{z^2+z}{4}>=1\)

=> VT >= 3-(\(\frac{x^2+x}{4}+\frac{y^2+y}{4}+\frac{z^2+z}{4}\))=3-\(\frac{x^2+y^2+z^2+3}{4}\)

mà \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{4}>=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4+4+4}=\frac{3}{4}\)

=> P>= 3-3/4-3/4=3/2

Dấu bằng khi x=y=z=1

Bài bạn Lương Ngọc Anh bị ngược dấu nên sai hoàn toàn. Lời giải:

Ta có:

\(\frac{1}{x^2+x}=\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)

Tương tự, ta được:

\(VT=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

Áp dụng BĐT Schwarz:

\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\le\frac{1}{4}\left(3+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Do đó:

\(VT\ge\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\frac{3}{4}\left(1\right)\)

Mặt khác:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=3\left(2\right)\)

TỪ (1) VÀ (2) TA CÓ ĐIỀU PHẢI CHỨNG MINH.