Phương trình tương đương:

\(\left(x^2+4x+3\right)\left(x^2+4x-5\right)=m\)

\(\Leftrightarrow\left(a+3\right)\left(a-5\right)-m=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a-15-m=0\) (1) với \(a=x^2+4x\)

Để phương trình ẩn x có 4 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần của phương trình ẩn a là phải có 2 nghiệm phân biệt.

\(\Delta'_{\left(1\right)}=1+15+m=16+m>0\) \(\Rightarrow m>-16\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2+\sqrt{16+m}\\a=2-\sqrt{16+m}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+4x-2-\sqrt{16+m}=0\left(2\right)\\x^2+4x-2+\sqrt{16+m}=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Dễ thấy (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m, (3) có 2 nghiệm phân biệt khi \(m< 0\). (Xét denta)

Nghiệm của chúng lần lượt là:

\(\left[{}\begin{matrix}x=2+\sqrt{4+\sqrt{16+m}}\\x=2-\sqrt{4+\sqrt{16+m}}\\x=2+\sqrt{4-\sqrt{16+m}}\\x=2-\sqrt{4-\sqrt{16+m}}\end{matrix}\right.\). 4 nghiệm này luôn phân biệt với \(-16< m< 0\)

Lần lượt thay nghiệm vào điều kiện:

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=-1\)

Ta được phương trình vô nghiệm. Vậy không tìm nổi m :V

PT

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)=m\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x+3\right)\left(x^2+4x-5\right)=m\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x-1+4\right)\left(x^2+4x-1-4\right)=m\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x-1\right)^2-16=m\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x-1\right)^2=m+16\) \(\left(DK:m\ge-16\right)\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+4x-1=\sqrt{m+16}\left(1\right)\\x^2+4x-1=-\sqrt{m+16}\left(2\right)\end{cases}}\)

PT(1)

\(\Leftrightarrow x^2+4x-1-\sqrt{m+16}=0\)

Ta co:

\(\Delta^`=2^2-1.\left(-1-\sqrt{m+16}\right)=5+\sqrt{m+16}>0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1=-2+\sqrt{5+\sqrt{m+16}}\\x_2=-2-\sqrt{5+\sqrt{m+16}}\end{cases}}\)

PT(2)

\(\Leftrightarrow x^2+4x-1+\sqrt{m+16}=0\)

Ta lai co:

\(\Delta^`=2^2-1.\left(-1+\sqrt{m+16}\right)=5-\sqrt{m+16}\)

De PT co 4 nghiem phan biet thi PT(1) va PT(2) co 2 nghiem phan bet

Suy ra PT(2) co 2 nghiem phan biet khi 

\(5-\sqrt{m+16}>0\)

\(\Leftrightarrow m< 9\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_3=-2+\sqrt{5-\sqrt{m+16}}\\x_4=-2-\sqrt{5-\sqrt{m+16}}\end{cases}}\)

Ta lai co:

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_4}+\frac{1}{x_5}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+\frac{x_4+x_5}{x_4x_5}=\frac{4}{1+\sqrt{m+16}}+\frac{4}{1-\sqrt{m+16}}\text{ }=-\frac{8}{15+m}\)\(\left(DK:m\ne-15\right)\)

Ma \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=-1\)

\(\Leftrightarrow-\frac{8}{m+15}=-1\)

\(\Leftrightarrow m=-7\)

Vay de PT \(\left(x^2-1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)=m\)co 4 gnhiem phan biet thoa man 

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=-1\)thi m=-7

Giả sử tất cả các pt dưới đây đều có nghiệm

\(\left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)=m\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-5x+4\right)\left(x^2-5x+6\right)=m\)

Đặt \(x^2-5x+4=t\) \(\Rightarrow x^2-5x+4-t=0\) (1)

\(\Rightarrow t\left(t+2\right)=m\Leftrightarrow t^2+2t-m=0\) (2)

Giả sử (2) có 2 nghiệm \(t_1;t_2\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=-2\\t_1t_2=-m\end{matrix}\right.\)

Thay vào (1): \(\left[{}\begin{matrix}x^2-5x+4-t_1=0\\x^2-5x+4-t_2=0\end{matrix}\right.\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=4-t_1\\x_3+x_4=5\\x_3x_4=4-t_2\end{matrix}\right.\)

\(Q=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+\frac{x_3+x_4}{x_3x_4}=\frac{5}{4-t_1}+\frac{5}{4-t_2}=\frac{40-5\left(t_1+t_2\right)}{\left(4-t_1\right)\left(4-t_2\right)}\)

\(=\frac{40-5\left(t_1+t_2\right)}{t_1t_2-4\left(t_1+t_2\right)+16}=\frac{40-5.\left(-2\right)}{-m-4.\left(-2\right)+16}=\frac{50}{24-m}\)

Ta có : \(\left(x-7\right)\left(x-6\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=m\)

=> \(\left(x^2-7x+3x-21\right)\left(x^2-6x+2x-12\right)=m\)

=> \(\left(x^2-4x-21\right)\left(x^2-4x-12\right)=m\)

- Đặt \(x^2-4x=a\) ta được phương trình :

\(\left(a-21\right)\left(a-12\right)=m\)

=> \(a^2-21a-12a+252-m=0\)

=> \(a^2-33a+252-m=0\)

=> \(\Delta=b^2-4ac=\left(-33\right)^2-4\left(252-m\right)=81+4m\)

Lại có : \(x^2-4x=a\)

=> \(x^2-4x-a=0\) ( I )

- Để phương trình ( I ) có 4 nghiệm phân biệt

<=> Phương trình ( II ) có hai nghiệm phân biệt

<=> \(\Delta>0\)

<=> \(m>-\frac{81}{4}\)

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{33-\sqrt{81+4m}}{2}\\x_2=\frac{33+\sqrt{81+4m}}{2}\end{matrix}\right.\)

=> Ta được phương trình ( I ) là :

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-4x+\frac{\sqrt{81+4m}-33}{2}=0\\x^2-4x-\frac{\sqrt{81+4m}+33}{2}=0\end{matrix}\right.\)

- Theo vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1x_2=\frac{33-\sqrt{81+4m}}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=4\\x_3x_4=\frac{33+\sqrt{81+4m}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

- Để \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=4\)

<=> \(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+\frac{x_3+x_4}{x_3x_4}=4\)

<=> \(\frac{4}{\frac{33-\sqrt{81+4m}}{2}}+\frac{4}{\frac{33+\sqrt{81+4m}}{2}}=4\)

<=> \(\frac{1}{\frac{33-\sqrt{81+4m}}{2}}+\frac{1}{\frac{33+\sqrt{81+4m}}{2}}=1\)

<=> \(\frac{2}{33-\sqrt{81+4m}}+\frac{2}{33+\sqrt{81+4m}}=1\)

<=> \(\frac{2\left(33-\sqrt{81+4m}\right)+2\left(33+\sqrt{81+4m}\right)}{\left(33-\sqrt{81+4m}\right)\left(33+\sqrt{81+4m}\right)}=1\)

<=> \(66-2\sqrt{81+4m}+66+2\sqrt{81+4m}=1089-81-4m\)

<=> \(66+66=1089-81-4m\)

<=> \(m=219\)

nhân tung ra rồi dùng  viet