gợi ý:

lúc đầu nó là 1 bdt vì nó nội tiếp nên dấu = xảy ra!

bđt ptoleme nhé bạn. 
Trên cung nhỏ BC, ta có các góc nội tiếp ∠BAC = ∠BDC, và trên cung AB, ∠ADB = ∠ACB

Lấy 1 điểm K trên AC sao cho ∠ABK = ∠CBD;Từ ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, suy ra ∠CBK = ∠ABD.Do vậy tam giác △ABK đồng dạng với tam giác △DBC, và tương tự có △ABD ∼ △KBC.Suy ra: AK/AB = CD/BD, và CK/BC = DA/BD;Từ đó AK·BD = AB·CD, và CK·BD = BC·DA;Cộng các vế của 2 đẳng thức trên: AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA;Hay: (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;Mà AK+CK = AC, nên AC·BD = AB·CD + BC·DA; (điều phải chứng minh)

Giả sử góc ACD > góc ACB. Lấy E trên BD sao cho góc DCE = góc ACB.

Ta có : 2 tam giác ABC và DEC đồng dạng (DCE = ACB; BAC = BDC (chắn cung BC)) => \(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{CD}\) => AB.CD = AC.DE (1)

Tương tự, ta có 2 tam giác ACD và BCE đồng dạng => AD.BC = BE.AC (2)

Từ (1) và (2) => AB.CD + AD.BC = AC.DE + BE.AC hay AB.CD + BC.AD = AC.BD

a) Xét ΔIAD và ΔIBC có 

\(\widehat{IAD}=\widehat{IBC}\)(gt)

\(\widehat{AID}=\widehat{BIC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIAD\(\sim\)ΔIBC(g-g)

b)

Sửa đề: \(IA\cdot IC=IB\cdot ID\)

Ta có: ΔIAD\(\sim\)ΔIBC(cmt)

nên \(\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{ID}{IC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(IA\cdot IC=IB\cdot ID\)(đpcm)

a/ Ta có 

IH vuông góc AB => ^AHI = 90

IK vuông góc AD => ^AKI = 90

=> H và K cùng nhìn AI dưới hai góc bằng nhau => AHIK là tứ giác nội tiếp

b/ Xét tam giác ADI và tam giác BCI có

^AID=^BIC (góc đối đỉnh)

sđ ^DAC = sđ ^DBC = 1/2 sđ cung CD (góc nội tiếp) => ^DAC=^DBC

=> tg ADI đồng dạng tg BCI

=>\(\frac{IA}{IB}=\frac{ID}{IC}\)⇒IA.IC=IB.ID

c/ 

Xét  tứ giác nội tiếp AHIK có

^HIK = 180 - ^DAB (hai góc đối của tứ giác nội tiếp bù nhau) (1)

^DAC = ^KHI (2 góc nội tiếp chắn cùng 1 cung) (2)

Xét tứ giác nội tiếp ABCD có

^BCD = 180 - ^DAB (hai góc đối của tứ giác nội tiếp bù nhau) (3)

^DAC = ^DBC (hai góc nội tiếp chắn cùng 1 cung) (4)

Xét hai tam giác HIK và tam giác BCD

Từ (1) và (3) => ^HIK = ^BCD

Từ (2) và (4) => ^KHI = ^DBC

=> tam giác HIK đồng dạng với tam giác BCD

Cái này CM tứ giác nội tiếp 9 CM lớp 8 hơi khó đấy

Lấy 1 điểm K trên AC sao cho ∠ABK = ∠CBD; Từ ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, suy ra ∠CBK = ∠ABD. Do vậy tam giác △ABK đồng dạng với tam giác △DBC, và tương tự có △ABD đồng dạng với △KBC. Suy ra: AK/AB = CD/BD, và CK/BC = DA/BD; Từ đó AK·BD = AB·CD, và CK·BD = BC·DA; Cộng các vế của 2 đẳng thức trên: AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA; Hay: (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA; Mà AK+CK = AC, nên AC·BD = AB·CD + BC·DA; (điều phải chứng minh)

Giả sử \(\widehat{ACB}>\widehat{ACD}\) trên BD lấy điểm E sao cho \(\widehat{BCE}=\widehat{ACD}\)

Xét △ACD và △BCE có

\(\widehat{BCE}=\widehat{ACD}\)(gt)

\(\widehat{CAD}=\widehat{CBE}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(\stackrel\frown{CD}\))

Suy ra △ACD \(\sim\) △BCE(g-g)

\(\Rightarrow\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BE}\Rightarrow BC.AD=AC.BE\)(1)

Xét △ACB và △DCE có

\(\widehat{BCE}=\widehat{ACD}\Rightarrow\)\(\widehat{BCE}+\widehat{ECA}=\widehat{ACD}+\widehat{ECA}\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{DCE}\)

\(\widehat{CDE}=\widehat{CAB}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(\stackrel\frown{BC}\))

Suy ra △ACB \(\sim\) △DCE(g-g)

\(\Rightarrow\frac{AC}{DC}=\frac{AB}{DE}\Rightarrow AB.CD=AC.DE\)(2)

Cộng (1) và (2)\(\Leftrightarrow AB.CD+BC.AD=AC.BE+AC.DE=AC\left(BE+CE\right)=AC.BD\)

Vậy \(AB.CD+BC.AD=AC.BD\)