Cho x,y,z >0. Chứng minh rằng:
x8+y8+z8/x3y3z3>=1/x+1/y+1/z
Cho x,y,z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x ( x 8 + 2 yz ) + y ( y 8 + 2 xz ) + z ( z 8 + 2 xy ) .
A. 9/2.
B. 9/4.
C.9.
D. 6.
why in olm math is asked the most
cho x,y,z >0;xyz=1.Chứng minh rằng x3/(y+1)(z+1)+y3/(z+1)(x+1)+x3/(y+1)(z+1)≥3/4
Cho x > 0 , y > 0 , z > 0 x y z = 1 . Chứng minh rằng 1 x + y + 1 + 1 y + z + 1 + 1 z + x + 1 ≤ 1
Đ ặ t x = a 3 y = b 3 z = c 3 , v ì x , y , z > 0 x y z = 1 = > a , b , c > 0 a b c = 1
Ta có: x + y + 1 = a 3 + b 3 + 1 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) + 1 ≥ ( a + b ) a b + 1 = a b ( a + b + c ) = a + b + c c
Do đó: 1 x + y + 1 ≤ c a + b + c
Tương tự ta có: 1 y + z + 1 ≤ a a + b + c 1 z + x + 1 ≤ b a + b + c
Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta có đpcm
cho x/y+z + y/z+x + z/x+y=1 . Chứng minh rằng x^2/y+z + y^2/z+x + z^2/x+y=0
Ta có: \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\)
+) TH1: x + y + z = 0 => x + y = -z ; x + z = -y; y + z = -x
Do đó: \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=\frac{x}{-x}+\frac{y}{-y}=\frac{z}{-z}=-3\)\(\ne1\)loại
+) TH2: x + y + z \(\ne0\)
\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\)
<=> \(\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{z+x}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}=x+y+z\)
<=> \(\frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{z+x}+y+\frac{z^2}{x+y}+z=x+y+z\)
<=> \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0\)( đpcm)
cho 3 số thực xyz khác 0 thoả mãn (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2 chứng minh rằng 1/x+1/y+1/z=0
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2
=>2(xy+yz+xz)=0
=>xy+xz+yz=0
=>xy/xyz+xz/xyz+yz/xyz=0
=>1/x+1/y+1/z=0
cho x, y,z >0 và 1/x +1/y +1/z =4 chứng minh rằng 1/2x+y+z +1/x+2y+z +1/x+y +2z =< 1
+) Áp dụng BĐT Cô - si cho 4 số dương x; x; y; z ta có:
\(x+x+y+z\ge4\sqrt[4]{x.x.y.z}\)
=> 2x + y + z \(\ge4\sqrt[4]{x.x.y.z}\) (1)
Với 4 số dương \(\frac{1}{x};\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\) ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge4.\sqrt[4]{\frac{1}{x}.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}\) (2)
Từ (1)(2) => \(\left(2x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge4.\sqrt[4]{x.x.y.z}4.\sqrt[4]{\frac{1}{x}.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}=16\)
=> \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{16}.\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) (*)
Tương tự, ta có: \(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}.\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\) (**)
\(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\) (***)
Từ (*)(**)(***) => Vế trái \(\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{4}.4=1\)
=> đpcm
+) Áp dụng BĐT Cô - si cho 4 số dương x; x; y; z ta có:
x+x+y+z≥44√x.x.y.z
=> 2x + y + z ≥44√x.x.y.z (1)
Với 4 số dương 1x ;1x ;1y ;1z ta có: 1x +1x +1y +1z ≥4.4√1x .1x .1y .1z (2)
Từ (1)(2) => (2x+y+z)(1x +1x +1y +1z )≥4.4√x.x.y.z4.4√1x .1x .1y .1z =16
=> 12x+y+z ≤116 .(2x +1y +1z ) (*)
Tương tự, ta có: 1x+2y+z ≤116 .(1x +2y +1z ) (**)
1x+y+2z ≤116 .(1x +1y +2z ) (***)
Từ (*)(**)(***) => Vế trái ≤116 (4x +4y +4z )=14 .(1x +1y +1z )=14 .4=1
=> đpcm
cho x y z lớn hơn 0 thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng x + 2y + z >= 4 (1 -x)(1-y)(1-z)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\\y+z=b\\x+z=c\end{matrix}\right.\Rightarrow a+b+c=2\)
\(bdt\Leftrightarrow a+b\ge4abc\)
Ta có: \(4VT=4\left(a+b\right)=\left(a+b+c\right)^2\left(a+b\right)\ge4c\left(a+b\right)^2\ge16abc=4VP\)
Vậy bđt đc cm
Cho x;y;z >0 thỏa mãn x+ y + z ≤ 1. Chứng minh rằng :
\(17\left(x+y+z\right)+2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge35\)
Áp dụng BĐT BSC và BĐT Cosi:
\(17\left(x+y+z\right)+2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(\ge17\left(x+y+z\right)+\dfrac{2.\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\)
\(=17\left(x+y+z\right)+\dfrac{18}{x+y+z}\)
\(=17\left(x+y+z\right)+\dfrac{17}{x+y+z}+\dfrac{1}{x+y+z}\)
\(\ge2\sqrt{17\left(x+y+z\right).\dfrac{17}{x+y+z}}+\dfrac{1}{1}\)
\(=35\)
\(\Rightarrow17\left(x+y+z\right)+2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge35\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
\(17x+\dfrac{17}{9x}\ge\dfrac{34}{3}\)
tương tự.....
suy ra
\(17\left(x+y+z\right)+\dfrac{17}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{34}{3}.3=34\)
lại có
\(\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{9}{x+y+z}.\dfrac{1}{9}=1\)
nên
\(17\left(x+y+z\right)+\dfrac{17}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=17\left(x+y+z\right)+2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge35\)
Cho \(x\), \(y\), \(z\) là 3 số khác 0 thoả mãn \(x\) \(+\) \(y\) \(+\) \(z\) \(=0\). Chứng minh rằng:
\(\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}\)=\(\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|\)
Có VT = \(\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2}{xy}-\dfrac{2}{yz}-\dfrac{2}{zx}}\)
\(=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2}{xyz}\left(x+y+z\right)}\)
\(=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}=\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|=VP\) (Vì x + y + z = 0)