Đ ặ t x = a 3 y = b 3 z = c 3 , v ì x , y , z > 0 x y z = 1 = > a , b , c > 0 a b c = 1
Ta có: x + y + 1 = a 3 + b 3 + 1 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) + 1 ≥ ( a + b ) a b + 1 = a b ( a + b + c ) = a + b + c c
Do đó: 1 x + y + 1 ≤ c a + b + c
Tương tự ta có: 1 y + z + 1 ≤ a a + b + c 1 z + x + 1 ≤ b a + b + c
Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta có đpcm
Cho \(x\), \(y\), \(z\) là 3 số khác 0 thoả mãn \(x\) \(+\) \(y\) \(+\) \(z\) \(=0\). Chứng minh rằng:
\(\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}\)=\(\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|\)
cho x, y,z >0 và 1/x +1/y +1/z =4 chứng minh rằng 1/2x+y+z +1/x+2y+z +1/x+y +2z =< 1
Cho x, y, z khác 0, \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{xz}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}=3\)
Cho x>0; y>0; z>0 và\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\).
Chứng minh rằng \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\).
a ) Cho x>0 , y>0 , z>0 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\)
Chứng minh rằng : \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
chứng minh rằng nếu\(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}=0\) thì \(\frac{1}{y+z-x}+\frac{1}{z+x-y}+\frac{1}{x+y-z}=0\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn căn x + căn y - căn z = 0
Chứng minh rằng
1
x+y-z
+1
y+z-x
+1
z+x-y
=0
a, Cho x, y, z > 0 \(\in[0,1]\). Chứng minh:
\(\dfrac{x}{yz+1}+\dfrac{y}{xz+1}+\dfrac{z}{xy+1}< 2\)
b, x, y, z > 0 : xyz = 1. Chứng minh:
\(\dfrac{1}{x^2+2y+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\le2\)
