Lời giải:

$A=(x-y)+\frac{4}{x-y}+y+\frac{1}{y}$

Áp dụng BĐT Cô-si:

$(x-y)+\frac{4}{x-y}\geq 2\sqrt{(x-y).\frac{4}{x-y}}=4$
$y+\frac{1}{y}\geq 2$

$\Rightarrow A\geq 4+2=6$

Vậy $A_{\min}=6$ khi $(x,y)=(3,1)$

Đề như này pk em?

\(P=\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\)

Áp dụng bđt Svac-xơ có:

\(P=\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}=\left(a+b\right)^2\)

Dấu = xảy ra <=>\(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\) và x+y=1

Ta có : \(\dfrac{a^2.1}{x}+\dfrac{b^2.1}{y}=\dfrac{a^2\left(x+y\right)}{x}+\dfrac{b^2\left(x+y\right)}{y}\) = \(a^2+\dfrac{a^2y}{x}+\dfrac{b^2x}{y}+b^2\) = \(\left(\dfrac{a^2y}{x}+\dfrac{b^2x}{y}\right)+a^2+b^2\)

Các số dương \(\dfrac{a^2y}{x}\) và \(\dfrac{b^2x}{y}\) có tích không đổi nên tổng của chung nhỏ nhất khi và chỉ khi 

\(\dfrac{a^2y}{x}=\dfrac{b^2x}{y}\Leftrightarrow a^2y^2=b^2x^2\Leftrightarrow ay=bx\Leftrightarrow a\left(1-x\right)=bx\)

⇔ \(x=\dfrac{a}{a+b}\) ; \(y=\dfrac{b}{a+b}\)

Vậy GTNN của biểu thức \(\left(a+b\right)^2\) khi \(x=\dfrac{a}{a+b}\) và \(y=\dfrac{b}{a+b}\)

kẻ lười biếng nạp card, đi ô tô

\(y=x+\dfrac{1}{x}-5\ge2\sqrt{\dfrac{x}{x}}-5=-3\)

\(y_{min}=-3\) khi \(x=1\)

\(y=4x^2+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}-4\ge3\sqrt[3]{\dfrac{4x^2}{2x.2x}}-4=-1\)

\(y_{min}=-1\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\)

\(y=x+\dfrac{4}{x}\Rightarrow y'=1-\dfrac{4}{x^2}=0\Rightarrow x=-2\)

\(y\left(-2\right)=-4\Rightarrow\max\limits_{x>0}y=-4\) khi \(x=-2\)

Đáp án B

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{1+x^2}=a>0\\y+\sqrt{1+y^2}=b>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+x^2=a^2+x^2-2ax\\1+y^2=b^2+y^2-2by\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{a^2-1}{2a}\\y=\dfrac{b^2-1}{2b}\end{matrix}\right.\)

Giả thiết trở thành: \(ab=2018\)

\(P=\dfrac{a^2-1}{2a}+\dfrac{b^2-1}{2b}=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)-\dfrac{a+b}{2ab}\)

\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)\left(1-\dfrac{1}{ab}\right)=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right).\dfrac{2017}{2018}\ge\sqrt{ab}.\dfrac{2017}{2018}=\dfrac{2017}{\sqrt{2018}}\)

\(P_{min}=\dfrac{2017}{\sqrt{2018}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{2017}{2\sqrt{2018}}\)

Áp dụng 2 bất đẳng thức phụ:

\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y\)

\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y\)

Áp dụng vào bài toán,ta có:

\(x^2+y^2\ge2\)

\(xy\le1\Leftrightarrow\frac{1}{xy}\ge1\)

Khi đó,ta có:\(x^2+y^2+\frac{1}{xy}\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

Thêm 2 vào bớt 2 ra biến đổi và dùng Cô si là xong ạ? + Áp dụng BĐT \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\) (cũng là hệ quả của cô si thôi)

Ta có: \(P=x^2+y^2+\frac{1}{xy}=\left(x^2+1\right)+\left(y^2+1\right)+\frac{1}{xy}-2\)

\(\ge2x+2y+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}-2=2\left(x+y\right)+\frac{4}{\left(x+y\right)^2}-2\)

\(=2.2+\frac{4}{2^2}-2=5-2=3\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1

Vậy \(P_{min}=3\Leftrightarrow x=y=1\)