a)xét tam giác ABC có

AM=MC và CN=NB

=> MN là đường trung bình => MNsong song và bằng 1/2 AB( 1)
xét tam giác ABD có AQ=QD và BP=PD 

=> PQ là đường trung bình => PQ song song và bằng 1/2 AB(2)
từ (1) và (2) => MNsong song và bằng PQ

b) với trường hợp AB vuông góc với CD 

xét tam giác BCD có CN=NB và BP=PD => NP là đường trung bình => NP song song với CD

mà CD vuông góc với AB( đề bài cho)

=> NP vuông góc với AB (3)

theo câu a)MN song song AB(4)

từ (3) (4) > NP vuông góc MN

a: Xét ΔCAB có CN/CB=CM/CA

nên MN//AB và MN=AB/2

Xét ΔDAB có DQ/DA=DP/DB

nên QP//AB và QP=AB/2

=>MN//PQ và MN=PQ

b: Xét ΔBCD có BN/BC=BP/BD

nên NP//CD
=>NP vuông góc AB

=>NP vuông góc với MN

Ta có BE=EF=FD => \(\frac{BE}{BD}=\frac{1}{3}\)

Ta có EK//CD. Áp dụng định lý talet trong tam giác có \(\frac{BE}{BD}=\frac{BK}{BC}=\frac{1}{3}\Rightarrow BK=\frac{1}{3}BC\)

Câu a với câu b làm kiểu g z???

Giúp vs mình đang cần gấp huhu TTTTTTTT

Cách cm F là trọng tâm tam giác ADC làm kiểu g` vậy ạ huhuhuhu

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).