cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: \(a\left(3-5bc-5c^2\right)\le a^2\left(b+c\right)-b-6c\).
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=3a+b+6c
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(P=\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b^3}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c^3}{\left(a+b\right)^2}\)
Câu hỏi của Phạm Trần Minh Trí - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo.
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b^3}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c^3}{\left(a+b\right)^2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)
Suy ra \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}\ge\frac{3a-b-c}{4}\)
Tương tự các BĐT còn lại và cộng theo vế ta được \(VT\ge\frac{a+b+c}{4}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b= c = 2
Có cách UCT :)
\(P=\Sigma_{cyc}\frac{a^3}{\left(6-a\right)^2}\)
Xét BĐT phụ: \(\frac{a^3}{\left(6-a\right)^2}\ge a-\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{27\left(a-2\right)^2}{2\left(a-6\right)^2}\ge0\)(luôn đúng)
Thiết lập tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế..
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=2
Đó nhớ cho mình nha
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left(5a+\frac{2}{b+c}\right)^3+\left(5b+\frac{2}{c+a}\right)^3+\left(5c+\frac{2}{a+b}\right)^3\)
trong đó a,b,c là số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a^2+b^2+c^2=3\)
\(P=\left(5a+\frac{2}{b+c}\right)^2+\left(5b+\frac{2}{c+a}\right)^2+\left(5c+\frac{2}{a+b}\right)^2\)
\(=4\text{∑}\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+20\text{ }\text{∑}\left(\frac{a}{b+c}\right)+75\)
\(\ge2\text{∑}\frac{1}{a^2+b^2}+20\cdot\frac{3}{2}+75\)
\(\ge2\cdot\frac{9}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}+105=108\)
Dấu = khi a=b=c=1
Cho a,b,c là cái số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Q = \(\dfrac{\left(1-c\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+bc}}+\dfrac{\left(1-a\right)^2}{\sqrt{2\left(c+a\right)^2+ca}}\) + \(\dfrac{\left(1-b\right)^2}{\sqrt{2\left(a+b\right)^2+ab}}\)
\(Q=\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+bc}}\ge\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(b+c\right)^2}}=\dfrac{2}{3}\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{b+c}\)
\(Q\ge\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)=\dfrac{4}{3}\)
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: \(\left(3a+2b\right)\left(3a+2c\right)=16bc\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{a}\)
Từ giả thiết , ta có : \(GT< =>\frac{\left(3a+2b\right)\left(3a+2c\right)}{bc}=\frac{16}{bc}\)
\(< =>\left(\frac{3a}{b}+\frac{2b}{b}\right)\left(\frac{3a}{c}+\frac{2c}{c}\right)=16\)
\(< =>\left(3\frac{a}{b}+2\right)\left(3\frac{a}{c}+2\right)=16\)
đến đây nhắn cho e cái điểm rơi để e nghĩ tiếp nhaaaaaaa
\(P=\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{a}\ge2\left(AM-GM\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi : \(a^2=b^2+2bc+c^2\)
Từ giả thiết và đk xảy ra dấu "=" ta đc hệ:
\(\hept{\begin{cases}9a^2+6ab+6ac+4bc=16bc\\b^2+2bc+c^2=a^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a^2+2ab+2ac-4bc=0\\b^2+2bc+c^2-a^2=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2ab+2ac+2b^2+2c^2-2bc=b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a+c\right)^2=b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^2-b^2\right]+\left(b-c\right)^2+\left[\left(a+c\right)^2-c^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a+2b\right)+a\left(a+2c\right)+\left(b-c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(2a+2b+2c\right)+\left(b-c\right)^2=0\)
Vì a,b,c dương suy ra : \(\left(b-c\right)^2=0\Leftrightarrow b=c\)
\(\Rightarrow a^2=4b^2\Leftrightarrow a=2b=2c\)
Đến đây mình chịu
Mà mình còn chẳng biết cách lm này có đúng ko
cho 3 số thực dương a b c thỏa mãn a+b+c=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=\(\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{ac}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}\)
Dat \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)
thi \(P= \Sigma \frac{z^2}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2} \) (1)
Mat khac co \(x+y+z=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\) (2)
Tu (1) va (2) suy ra \(P\ge\frac{3}{2}\).Dau = xay ra khi \(a=b=c=1\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn\(b^2+c^2\le a^2\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biể thức:\(P=\frac{1}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz và Cauchy ta có:
\(P=\frac{1}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(\ge\frac{b^2+c^2}{a^2}+a^2\cdot\frac{9}{b^2+c^2}\) (Cauchy - Schwarz)
\(=\left(\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}\right)+8\cdot\frac{a^2}{b^2+c^2}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{b^2+c^2}{a^2}\cdot\frac{a^2}{b^2+c^2}}+8\cdot\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}\) (BĐT Cauchy)
\(=2+8=10\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b\sqrt{2}=c\sqrt{2}\)
Vậy Min(P) = 10 khi \(a=b\sqrt{2}=c\sqrt{2}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{1}{a\left(b^2+bc+c^2\right)}+\dfrac{1}{b\left(c^2+ca+a^2\right)}+\dfrac{1}{c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)
\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)
\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b<_c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)