Quy định của hoc24 là chỉ dc dăng 1 bài trong 1 câu hỏi bạn nhé

bài 1 :

 Tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c và có chu vi là 2 
--> a + b + c = 2 

Trong 1 tam giác thì ta có: 
a < b + c 

--> a + a < a + b + c 
--> 2a < 2 
--> a < 1 

Tương tự ta có : b < 1, c < 1 

Suy ra: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0 
⇔
(1 – b – a + ab)(1 – c) > 0 
⇔
1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0 
⇔
1 – (a + b + c) + ab + bc + ca > abc 

Nên abc < -1 + ab + bc + ca 
⇔
2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca 
⇔
a² + b² + c² + 2abc < a² + b² + c² – 2 + 2ab + 2bc + 2ca 
⇔ a² + b² + c² + 2abc < (a + b + c)² - 2 
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2² - 2 , do a + b = c = 2 
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2 

--> đpcm 

Sưả câu 2. a²+b²+c²=3abc

Đề bài : Cho \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\left(a,b,c\ne0\right)\)và  \(M=\frac{b^2c^2}{a}+\frac{c^2a^2}{b}+\frac{a^2b^2}{c}\)

Chứng minh M=3abc.

Trước tiên, ta chứng minh bài toán phụ : Cho x+y+z=0 . Chứng minh \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Giải bài toán phụ như sau : Ta có : \(x+y+z=0\Rightarrow z=-\left(x+y\right)\Rightarrow z^3=-\left[x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\right]\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=-3xy\left(x+y\right)=-3xy\left(-z\right)\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Áp dụng vào bài đã cho, ta suy ra : \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

Do đó : \(M=\frac{b^2c^2}{a}+\frac{c^2a^2}{b}+\frac{a^2b^2}{c}=\frac{a^2b^2c^2}{a^3}+\frac{a^2b^2c^2}{b^3}+\frac{a^2b^2c^2}{c^3}=a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=a^2b^2c^2.\frac{3}{abc}=3abc\)Vậy \(M=3abc\)(đpcm)

Cảm ơn bạn nha :*

Không có chi :))

Chúc bạn học tốt ! ^.^

1, Ta có a^3+b^3+c^3=3abc

-> a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2=3abc+3a^2b+3ab^2

-> (a+b)^{3 +} c^3 - 3ab(a+b+c)=0

-> (a+b+c). ((a+b)^2-(a+b).c+c^2)-3ab(a+b+c)=0

-> (a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)=0

Th1: a+b+c=0

->P= a+b/2 . b+c/2 . c+a/2

= (-c)(-a)(-b)/2=-1

TH2 a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0

->2a^2+2b^2+2c^2-2ab-abc-2ac=0

->(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)=0

-> (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0

Mà (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>= 0

Dấu = xảy ra (=)a-b=0

                         b-c=0

                          a-c=0

-> a=b=c

->P= 1+a/b+1+b/c+1+c/a=2+2+2= 8

bn có thể giải thích phần TH1 ko?

Phần í cx dễ hiểu mà

GT không hợp lí 

Theo định lí cosi 3 số

a^3+b^3+c^3>=3*canbacba(a^3*b^3*c^3)

<=> a^3+b^3+c^3>=3abc

dấu"=" khi a=b=c

trái Gt a,b,c đôi một khác nhau

Bạn sai rồi. Sao ngu vậy. Giải đến thế mà ko làm ra

a³ + b³ + c³ = 3abc 
<=> (a+b)³+c³-3a²b-3ab²-3abc = 0
<=> (a+b+c)[(a+b)²-(a+b)c+c²]-3ab(a+b+c) = 0
<=> (a+b+c)[(a+b)²-(a+b)c+c²-3ab]= 0
<=> (a+b+c)[a²+b²+c²-ab-bc-ac]=0
<=> 2(a+b+c)[a²+b²+c²-ab-bc-ac]=0
<=> (a+b+c)[2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac]=0
<=> (a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²]=0
=> a+b+c=0 hoặc (a-b)²+(b-c)²+(a-c)² =0
<=> a+b+c=0 hoặc a=b=c ( Mà a,b,c đổi 1 khác nhau nên TH này loại )
Ta có :  a+b+c=0
Thay -a²=-(-b-c)²=-b²-2bc-c² ; -b²= -a^2-2ac-c² ; -c²= -a^2-2ab-b²  vào B ,Ta được
=>B =  -1/2( 1/ab + 1/ac + 1/bc ) = -1/2 ( (a+b+c)/abc) 
Mà a+b+c = 0 => B=0
 

a³+b³+c³=3abc

<=>(a+b)³-3ab(a+b)-3abc+c³=0

<=>(a+b+c)[(a+b)²-(a+b)c+c²]-3ab.(a+b+c)=0

<=>(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)=0

<=>(a+b+c)(2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac)=0

<=>(a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]=0

<=>a+b+c=0 [(a-b)²+(b-c)²+(c-a)² khác 0]

=>a²+b²-c²=-2ab;b²+c²-a²=-2bc;c²+a²-b²=-2ac

Suy ra : P=\(-\left(\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2bc}+\dfrac{1}{2ac}\right)=-\dfrac{a+b+c}{2abc}=0\)

theo đề ra ta có \(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

                          \(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=0\)

                            \(\Leftrightarrow a+b+c=0\)

ta có đề <=>\(\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=3abc\)

mà a+b+c=0=>a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b thay vào biểu thức trên

             \(\Leftrightarrow-3\left(-a\right)\left(-b\right)\left(-c\right)=3abc\)

              <=> \(3abc=3abc\)(hiển nhiên đúng)

vậy BĐT được chứng minh

đúng thì đúng nhưng cần sửa

\(2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=0\)

<=>\(\frac{a}{abc}+\frac{b}{abc}+\frac{c}{abc}=0\)

<=>\(\frac{a+b+c}{abc}=0\)

do a,b,c khác 0 nên abc khác 0

=> a+b+c=0

=> a+b= -c

<=> \(\left(a+b\right)^3=\left(-c\right)^3\)

<=>\(a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)

<=>   \(a^3+b^3-3abc=-c^3\)(do ab = -c)

<=> \(a^3+b^3+c^3=3abc\)(đpcm)

bạn nguyên x thị lan hương trình bày còn kém

Ta có : \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{abc}{ab}+\frac{abc}{bc}+\frac{abc}{ac}=0\left(\text{​nhân cả hai về với abc}\right)\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow a+b=-c\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=-c^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3a^2b-3ab^2\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(-c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

Vậy đpcm