Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Vũ Thùy Trang
Xem chi tiết
Tô Ngọc Hà
11 tháng 12 2016 lúc 19:42

\(\frac{a^2}{4}+b^2+c^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+b^2+c^2-ab+ac-2bc+\left(ab-ac+2bc\right)=\left(\frac{a}{2}-b+c\right)^2+\left(ab-ac+2bc\right)\ge ab-ac+2bc\)

Luong
Xem chi tiết
Luong
27 tháng 5 2018 lúc 20:07

Nhầm, bỏ bớt 1 cái 1/3 đi

Pain Thiên Đạo
27 tháng 5 2018 lúc 20:21

tích đi rồi Pain làm

Luong
27 tháng 5 2018 lúc 20:31

Làm đi, làm đúng tui tích cho

CAO Thị Thùy Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Huy Thắng
6 tháng 6 2019 lúc 16:26

\(\frac{\left(2+6a+3b+6\sqrt{2bc}\right)\left(\sqrt{2b^2+2\left(a+c\right)^2}+3\right)}{2a+b+2\sqrt{2bc}}\ge16\)

Ap dung bdt amgm va bdt bunhiacpoxki taok:

\(VT=\frac{\left(2+6a+3b+6\sqrt{2bc}\right)\left(\sqrt{2b^2+2\left(a+c\right)^2}+3\right)}{2a+b+2\sqrt{2bc}}\)

\(=\left(\sqrt{2\left(b^2+\left(a+c\right)^2\right)}+3\right)\left(\frac{2}{2a+b+2\sqrt{2bc}}+3\right)\)

\(\ge\left(\sqrt{2\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2}}+3\right)\left(\frac{2}{2a+b+b+2c}+3\right)\)

\(=\left(a+b+c+3\right)\left(\frac{1}{a+b+c}+3\right)\)

\(\ge\left(1+3\right)^2=16=VP\)

CAO Thị Thùy Linh
6 tháng 6 2019 lúc 11:50

dùng bất đẳng thức cô-si và bất đẳng thức bu-nhi-a-cop-xki

Nguyễn Đức Huy
6 tháng 6 2019 lúc 21:24

VT=\(\frac{2}{2a+b+2\sqrt{2bc}}+3\)\(\ge\frac{2}{2a+2b+2c}+3\)=\(\frac{1}{a+b+c}+\frac{9}{3}\)

Áp dụng bđt cauchy-schwarzta được:

VT\(\ge\frac{\left(1+3\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{6}{a+b+c+3}\)

ta cần chứng minh: a+b+c\(\le\sqrt{2b^2+2\left(a+c\right)^2}\)

Thật vậy ta có

\(2b^2+2\left(a+c\right)^2-\left(a+b+c\right)^2=b^2+a^2+c^2+2ac-2bc-2ab=\left(b-a-c\right)^2\ge0\)Suy ra a+b+c\(\le\sqrt{2b^2+2\left(a+c\right)^2}\)

vậy VT\(\ge VP\)

Ác Quỷ Bóng Đêm
Xem chi tiết
Phương An
15 tháng 8 2017 lúc 16:37

Biến đổi tương đương:

\(\dfrac{a^2}{4}+b^2+c^2\ge ab-ac+2bc\) (1)

\(\Leftrightarrow a^2+4b^2+4c^2\ge4ab-4ac+8bc\)

\(\Leftrightarrow a^2+\left(2b\right)^2+\left(2c\right)^2-2.a.2b+2.a.2c-2.2b.2c\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b+2c\right)^2\ge0\) luôn đúng

=> (1) đúng

Dấu "=" xảy ra khi a = 2(b - c)

nguyenhuuhoangthinh
Xem chi tiết
tth_new
4 tháng 8 2020 lúc 20:30

Vào thống kê hỏi đáp xem nhé. Bài này chỉ cần biểu diễn dưới dạng tổng bình phương là xong.

Khách vãng lai đã xóa
Tran Le Khanh Linh
4 tháng 8 2020 lúc 20:31

ta có \(\frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^2+3}\ge\frac{3}{4}\) (***)

do ab+bc+ca=3 nên

VT (***)=\(\frac{a^3}{b^2+ab+bc+ca}+\frac{b^3}{c^2+ab+bc+ca}+\frac{c^3}{a^2+ab+bc+ca}\)

\(=\frac{a^3}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{b^3}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}+\frac{c^3}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)

áp dụng bđt AM-GM ta có \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{b+c}{8}+\frac{a+b}{8}\ge\frac{3a}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{5a-2b-c}{8}\left(1\right)\)

chứng minh tương tự ta cũng được

\(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\ge\frac{5b-2c-a}{8}\left(2\right)\\\frac{c^3}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{5c-2a-b}{8}\left(3\right)\end{cases}}\)

cộng theo vế với vế của (1),(2) và (3) ta được VT (***) \(\ge\frac{a+b+c}{4}\)

mặt khác ta dễ dàng chứng minh được \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\)

đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1 (đpcm)

Khách vãng lai đã xóa
nguyenhuuhoangthinh
4 tháng 8 2020 lúc 20:48

ok cảm ơn bạn nha :)

Khách vãng lai đã xóa
Shino Asada
Xem chi tiết
Akai Haruma
2 tháng 3 2020 lúc 23:18

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{b+c+a}=a+b+c\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
2 tháng 3 2020 lúc 23:20

Cách khác:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:

$\frac{a^2}{b}+b\geq 2a$

$\frac{b^2}{c}+c\geq 2b$

$\frac{c^2}{a}+a\geq 2c$

Cộng theo vế và thu gọn ta được:

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Khách vãng lai đã xóa
nguyễn thi nga
Xem chi tiết
Thắng Nguyễn
24 tháng 4 2017 lúc 18:53

Nhân 2 vế của \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\) có: \(ab+bc+ca=abc\)

Ta có: 

\(\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{a^2+abc}=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\cdot\frac{a+b}{8}\cdot\frac{a+c}{8}}=\frac{3a}{4}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:

\(\frac{b^2}{b+ca}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3b}{4};\frac{c^2}{c+ab}+\frac{a+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3c}{4}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT+\frac{4\left(a+b+c\right)}{8}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)

\(\Leftrightarrow VT+\frac{4\left(a+b+c\right)}{8}\ge\frac{6\left(a+b+c\right)}{8}\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{4}=VP\). Ta có ĐPCM

hh Clroyalhh
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Mỹ vân
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
28 tháng 8 2021 lúc 22:34

\(\dfrac{a^2+bc}{b+c}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)-a\left(b+c\right)}{b+c}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}-a\)

\(\Rightarrow VT=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}-\left(a+b+c\right)\)

Mặt khác áp dụng \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}\ge a+b+b+c+a+c=2\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge2\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=a+b+c\) (đpcm)