a) \(x^2+x+1=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\forall x\)

c) \(C=4x-10-x^2=-\left(x^2-4x+10\right)\)

\(=-\left(x^2-4x+4+6\right)=-\left[\left(x-2\right)^2+6\right]\)

\(=-\left(x^2-4x+4+6\right)=-\left[\left(x-2\right)^2\right]-6\le-6< 0\forall x\)

A=\(x^2+6x+9+1\)

=\(\left(x-3\right)^2+1\)

Vì \(\left(x-3\right)^2\)\(\ge\)0 \(\forall\)x

=>\(\left(x-3\right)^2\)+1\(\ge\)1 \(\forall\) x

Vậy A luôn luôn dương với mọi x

B=4\(x^2-4x+1+2\)

=\(\left(2x-1\right)^2+2\)

Vì\(\left(2x-1\right)^2\ge0\forall\) x

=>\(\left(2x-1\right)^2+2\ge2\forall\) x\(\in R\)

Vậy B luôn luôn dương với x thuộc R

\(A=x\left(x-6\right)+10\)

\(\Leftrightarrow A=x^2-6+10\)

\(\Leftrightarrow A=x^2+4\)

Ta có: \(x^2\ge0\) với mọi x thuộc R

\(\Rightarrow x^2+4\ge4\) với mọi x thuộc R

Do đó A luôn dương với mọi x thuộc R

a) Ta có:

\(x^2-x+1\)

\(=x^2-2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)

\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)

Mà: \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) và \(\dfrac{3}{4}>0\) nên

\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall x\)

\(\Rightarrow x^2-x+1>0\forall x\)

a) \(A=x^2+2x+3=x^2+2x+1+2\)

\(=\left(x+1\right)^2+2\ge2\)

Vậy A luôn dương với mọi x

b) \(B=-x^2+4x-5=-\left(x^2-4x+5\right)\)

\(=-\left(x^2-4x+2^2\right)-1\)

\(=-\left(x-2\right)^2-1\le-1\)

Vậy B luôn âm với mọi x

a)\(x^2+2x+3=\left(x^2+2x+1\right)+2=\left(x+1\right)^2+2\ge2\)

Vậy x² +2x+3 luôn dương.

b)\(-x^2+4x-5=-\left(x^2-4x+5\right)=-\left(x^2-4x+4+1\right)=-\left[\left(x-2\right)^2+1\right]\le-1\)

Vậy -x² +4x-5 luôn luôn âm.

Bài 1

\(A=x^2-6x+15=x^2-2.3.x+9+6=\left(x-3\right)^2+6>0\forall x\)

\(B=4x^2+4x+7=\left(2x\right)^2+2.2.x+1+6=\left(2x+1\right)^2+6>0\forall x\)

Bài 2

\(A=-9x^2+6x-2021=-\left(9x^2-6x+2021\right)=-\left[\left(3x-1\right)^2+2020\right]=-\left(3x-1\right)^2-2020< 0\forall x\)

a: \(A=x^2-x+1\)

\(=x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)

\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall x\)

b: \(B=-x^2+4x-17\)

\(=-\left(x^2-4x+17\right)\)

\(=-\left(x^2-4x+4+13\right)\)

\(=-\left(x-2\right)^2-13< 0\forall x\)

a) \(A=x^2-x+1=\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\)

b) \(4x-17-x^2=-\left(x^2-4x+4\right)-13=-\left(x-2\right)^2-13\le-13< 0\)

a) A = \(x^2-x+1\) 

        = \(x^2\) - 2.\(x\).\(\dfrac{1}{2}\) + \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\) + \(\dfrac{3}{4}\)

         = \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\) + \(\dfrac{3}{4}\)

Với mọi \(x\) ta có:

            \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\) ≥ 0

        ➩\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\) + \(\dfrac{3}{4}\) > \(\dfrac{3}{4}\)

        ➩\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\)  + \(\dfrac{3}{4}\) > 0

        ➩\(x^2-x+1\) > 0

         ➩ A > 0

Vậy biểu thức A = \(x^2-x+1\) luôn dương với mọi \(x\)

1/ Sửa đề a+b=1

\(M=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+3ab\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]+6a^2b^2\left(a+b\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-3ab\right]+3ab\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]+6a^2b^2\left(a+b\right)\)

Thay a+b=1 vào M ta được:

\(M=1-3ab+3ab\left[1-2ab\right]+6a^2b^2\)

\(=1-3ab+3ab-6a^2b^2+6a^2b^2=1\)

2/ Đặt \(A=\frac{2n^2+7n-2}{2n-1}=\frac{\left(2n^2-n\right)+\left(8n-4\right)+2}{2n-1}=\frac{n\left(2n-1\right)+4\left(2n-1\right)+2}{2n-1}=n+4+\frac{2}{2n-1}\)

Để \(A\in Z\Leftrightarrow2n-1\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)

Ta có bảng:

Vậy n={1;0}

câu 4c phải là x-1 mới đúng chứ

3/

a/ Ta có \(A=x\left(x-6\right)+10\)

\(A=x^2-6x+10\)

\(A=x^2-6x+9+1\)

\(A=\left(x-3\right)^2+1\)

Mà \(\left(x-3\right)^2\ge0\)với mọi giá trị của x

=> \(\left(x-3\right)^2+1>0\)với mọi giá trị của x (đpcm)

b/ Ta có \(B=x^2-2x+9y^2-6y+3\)

\(B=\left(x^2-2x+1\right)+\left(9y^2-6y+1\right)+1\)

\(B=\left(x-1\right)^2+\left(3y-1\right)^2+1\)

Mà \(\left(x-1\right)^2\ge0\)với mọi giá trị của x

\(\left(3y-1\right)^2\ge0\)với mọi giá trị của y

=> \(\left(x-1\right)^2+\left(3y-1\right)^2\ge0\)với mọi giá trị của (x, y)

=> \(\left(x-1\right)^2+\left(3y-1\right)^2+1>0\)với mọi giá trị của (x, y) (đpcm)

4/

a/ Ta có \(A=x^2-4x+1\)

\(A=x^2-4x+4-1\)

\(A=\left(x-2\right)^2-1\)

Mà \(\left(x-2\right)^2\ge0\)với mọi giá trị của x. Dấu "=" xảy ra khi x = 2

=> \(\left(x-2\right)^2-1\ge-1\)với mọi giá trị của x. Dấu "=" xảy ra khi x = 2

Vậy GTNN của A là -1 khi x = 2

b/ Ta có \(B=4x^2+4x+11\)

\(B=4x^2+4x+1+10\)

\(B=\left(2x+1\right)^2+10\)

Mà \(\left(2x+1\right)^2\ge0\)với mọi giá trị của x. Dấu "=" xảy ra khi \(2x+1=0\)=> \(x=-\frac{1}{2}\)

=> \(\left(2x+1\right)^2+10\ge10\)với mọi giá trị của x. Dấu "=" xảy ra khi \(x=-\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của B là 10 khi \(x=-\frac{1}{2}\)

A= x²-4x+5

<=> x²-2*x*2+2²+1

<=> ( x-2)²+1 vì (x-2)>= 0 

=> A >= 1 (dương)

B x² -x+1

<=> x²- 2*x *1/2 +(1/2)²+3/4

<=> ( x-1/2)²+3/4

vì ( x-1/2)² >= 0

=> B>= 3/4 (dương)