a/ \(\frac{A^4_n}{A_{n+1}^3-C_n^{n-4}}=\frac{24}{23}\Rightarrow n=5\)

Khai triển \(\left(2-3x^2+x^3\right)^5\)

\(\left\{{}\begin{matrix}k_0+k_2+k_3=5\\2k_2+3k_3=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(k_0;k_2;k_3\right)=\left(1;3;1\right);\left(2;0;3\right)\)

Hệ số của số hạng chứa \(x^9\):

\(\frac{5!}{1!.3!.1!}.2^1.\left(-3\right)^3+\frac{5!}{2!.3!}.2^2.\left(-3\right)^0=-1040\)

b/ SHTQ của khai triển: \(\left(1+2x\right)^n\) là: \(C_n^k2^kx^k\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^3\) trong khai triển tổng quát là \(C_n^32^3\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^3\) trong khai triển của \(f\left(x\right)\): \(2^3.\sum\limits^{22}_{n=3}C_n^3\)

Tính tổng \(C_3^3+C_4^3+C_5^3+...+C_{22}^3\)

\(=C_4^4+C_4^3+C_5^3+...+C_{22}^3\)

\(=C_5^4+C_5^3+...+C_{22}^3\)

\(=C_6^4+C_6^3+...+C_{22}^3=...=C_{23}^4\)

Vậy \(2^3\sum\limits^{22}_{n=3}C_n^3=2^3.C_{23}^4\)

Làm xong rồi nhấn gửi thì lỗi, làm lại từ đầu nên chỉ làm 2 câu thôi, 2 câu sau bạn tự làm tương tự:

a/ \(\sum\limits^8_{k=0}C_8^kx^{2k}\left(1-x\right)^k=\sum\limits^8_{k=0}\sum\limits^k_{i=0}C_8^kC_k^i\left(-1\right)^ix^{2k+i}\)

Số hạng chứa \(x^8\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2k+i=8\\0\le i\le k\le8\\i;k\in N\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(i;k\right)=\left(0;4\right);\left(2;3\right)\)

Hệ số: \(C_8^4C_4^0.\left(-1\right)^0+C_8^3C_3^2.\left(-1\right)^2\)

b/ \(1+x+x^2+x^3=\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)\)

\(\Rightarrow\left(1+x+x^2+x^3\right)^{10}=\left(1+x\right)^{10}\left(1+x^2\right)^{10}\)

\(=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^kx^k\sum\limits^{10}_{i=0}C_{10}^ix^{2i}=\sum\limits^{10}_{k=0}\sum\limits^{10}_{i=0}C_{10}^kC_{10}^ix^{2i+k}\)

Số hạng chứa \(x^5\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2i+k=5\\0\le k\le10\\0\le i\le10\\i;k\in N\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(i;k\right)=\left(0;5\right);\left(1;3\right);\left(2;1\right)\)

Hệ số: \(C_{10}^0C_{10}^5+C_{10}^1C_{10}^3+C_{10}^2C_{10}^1\)

Đầu tiên ta có \(\left(1+x\right)^{20}\) có SHTQ \(C_{20}^kx^k\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của số hạng chứa \(x^{10}\) là \(C_{20}^{10}\) (1)

Ta cũng có khai triển:

\(\left(1+x\right)^{10}\left(x+1\right)^{10}=\sum\limits^{10}_{k=0}\sum\limits^{10}_{i=0}C_{10}^kC^i_{10}x^{10+i-k}\)

Số hạng chứa \(x^{10}\Rightarrow10+i-k=10\Rightarrow i=k\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của số hạng chứa \(x^{10}\) là:

\(\sum\limits^{10}_{k=0}\sum\limits^{10}_{i=0}C_{10}^kC_{10}^i=\sum\limits^{10}_{k=0}\left(C_{10}^k\right)^2=\left(C_{10}^0\right)^2+\left(C_{10}^1\right)^2+...+\left(C_{10}^{10}\right)^2\)

Mà từ (1) ta có hệ số của số hạng chứa \(x^{10}\) là \(C_{20}^{10}\Rightarrow S=C_{20}^{10}\)

\(\left(2x-x^2\right)^{10}=\sum\limits^{10}_{k=0}C^k_{10}\cdot\left(2x\right)^{10-k}\cdot\left(-x^2\right)^k=\sum\limits^{10}_{k=0}C^k_{10}\cdot2^{10-2k}\cdot\left(-1\right)^k\cdot x^{10+k}\)

\(x^{12}\Rightarrow\)\(10+k=12\Rightarrow k=2\)

Hệ số của số hạng đó: \(C^2_{10}\cdot2^6\cdot\left(-1\right)^2=2880\)

\(\left(2x^3-\dfrac{3}{x^2}\right)^{10}=\sum\limits^{10}_{k=0}C^k_{10}.2^k.3^{10-k}.x^{3k}.\dfrac{1}{x^{2\left(10-k\right)}}\)

\(x^{10}=\dfrac{x^{3k}}{x^{20-2k}}\Leftrightarrow3k-20+2k=10\Leftrightarrow5k=30\Leftrightarrow k=6\)

\(\Rightarrow he-so:2^k.3^{10-k}=2^6.3^4=..\)

\(\left(1+x\right)^n\) có SHTQ \(C_n^kx^k\)

\(\Rightarrow\) số hạng chứa \(x^3\) có \(k=3\)

Hệ số:

\(T=C_3^3+C_4^3+C_5^3+...+C_{50}^3\)

\(T=C_4^4+C_4^3+C_5^3+...+C_{50}^3\) (do \(C_3^3=1=C_4^4\))

\(T=C_5^4+C_5^3+C_6^3+...+C_{50}^3\)

\(T=C_6^4+C_6^3+...+C_{50}^3=...=C_{51}^4\)

Chắc bạn viết nhầm biểu thức \(B\left(x\right)\), có lẽ biểu thức đúng là thế này:

\(B\left(x\right)=\left(1+2x\right)^3+\left(1+2x\right)^4+...+\left(1+2x\right)^{22}\)

Số hạng tổng quát của khai triển \(\left(1+2x\right)^n\) là \(C_n^k2^kx^k\)

Số hạng chứa \(x^3\) có hệ số \(C_n^32^3\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^3\) trong khai triển \(B\left(x\right)\) là:

\(T=2^3\left(C_3^3+C_4^3+...+C_{22}^3\right)=2^3.C_{23}^4\) (chứng minh tổng trong ngoặc tương tự câu trên)