Question

tìm hệ số của x^3 trong kt:

\(A\left(x\right)=\left(1+x\right)^3+\left(1+x\right)^4+...+\left(1+x\right)^{50}\\\)

\(B\left(x\right)=\left(1+2x^3\right)+\left(1+2x^4\right)+\left(1+2x\right)^{22}\)

Answer 1

\(\left(1+x\right)^n\) có SHTQ \(C_n^kx^k\)

\(\Rightarrow\) số hạng chứa \(x^3\) có \(k=3\)

Hệ số:

\(T=C_3^3+C_4^3+C_5^3+...+C_{50}^3\)

\(T=C_4^4+C_4^3+C_5^3+...+C_{50}^3\) (do \(C_3^3=1=C_4^4\))

\(T=C_5^4+C_5^3+C_6^3+...+C_{50}^3\)

\(T=C_6^4+C_6^3+...+C_{50}^3=...=C_{51}^4\)

Answer 2

Chắc bạn viết nhầm biểu thức \(B\left(x\right)\), có lẽ biểu thức đúng là thế này:

\(B\left(x\right)=\left(1+2x\right)^3+\left(1+2x\right)^4+...+\left(1+2x\right)^{22}\)

Số hạng tổng quát của khai triển \(\left(1+2x\right)^n\) là \(C_n^k2^kx^k\)

Số hạng chứa \(x^3\) có hệ số \(C_n^32^3\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^3\) trong khai triển \(B\left(x\right)\) là:

\(T=2^3\left(C_3^3+C_4^3+...+C_{22}^3\right)=2^3.C_{23}^4\) (chứng minh tổng trong ngoặc tương tự câu trên)