Cho (O) đường kính AB lấy điểm C thuộc đường tròn sao cho AC=AO kẻ CH thuộc AB O thuộc BC tiếp tuyến tại C cắt OD ở E
a) chứng minh bốn điểm C, H,O, D cùng thuộc một đường tròn
b) chứng minh OD,OE=AH,AB
c) chứng minh EB là tiếp tuyến của đường tròn (O)
a) Gọi N là trung điểm của OC
Ta có: ΔOHC vuông tại H(CH⊥AB tại H)
mà HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OC(N là trung điểm của OC)
nên \(HN=\dfrac{OC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(ON=CN=\dfrac{OC}{2}\)(N là trung điểm của OC)
nên HN=ON=CN(1)
Ta có: ΔOCI vuông tại I(OI⊥AC tại I)
mà IN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OC(N là trung điểm của OC)
nên \(IN=\dfrac{OC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(CN=ON=\dfrac{CO}{2}\)(N là trung điểm của CO)
nên IN=CN=ON(2)
Từ (1) và (2) suy ra NI=NO=NC=NH
hay I,O,C,H cùng thuộc một đường tròn(đpcm)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔMAO vuông tại A có AI là đường cao ứng với cạnh huyền OM, ta được:
\(OI\cdot OM=OA^2\)
mà OA=R(A∈(O;R))
nên \(OI\cdot OM=R^2\)(đpcm)
Vì OM=2R và R=6cm nên \(OM=2\cdot6cm=12cm\)
Thay OM=12cm và R=6cm vào biểu thức \(OI\cdot OM=R^2\), ta được:
\(OI\cdot12=6^2=36\)
hay OI=3cm
Vậy: Khi OM=2R và R=6cm thì OI=3cm
Cho đường tròn (O;R),đường kính AB . Qua điểm A kẻ tiếp tuyến Ax đến đường tròn (O) . Trên tia Ax lấy điểm C sao cho AC > R . Từ điểm C kẻ tiếp tuyến CM với đường tròn (O) (M là tiếp điểm)
a) Chứng minh 4 điểm A,C,O,M cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh rằng MB//OC
c) Gọi K là giao điểm thứ hai của BC với đường tròn (O) . Chứng minh rằng BC.BK`=4R^2`
a: Xét tứ giác OACM có
\(\widehat{OAC}+\widehat{OMC}=90^0+90^0=180^0\)
=>OACM là tứ giác nội tiếp
=>O,A,C,M cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
CA,CM là tiếp tuyến
Do đó: CA=CM
=>C nằm trên đường trung trực của AM(1)
OA=OM
=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)
Từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của AM
=>OC\(\perp\)AM
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>AM\(\perp\)MB tại M
Ta có: AM\(\perp\)MB
AM\(\perp\)OC
Do đó: OC//MB
c: Xét (O) có
ΔAKB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAKB vuông tại K
=>KB\(\perp\)KA tại K
=>AK\(\perp\)BC tại K
Xét ΔABC vuông tại A có AK là đường cao
nên \(BK\cdot BC=BA^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)
Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Điểm C thuộc đường tròn (O) sao cho CA<CB. Kẻ CH⊥AB tại H và OM⊥ BC tại M.
a) Chứng minh: 4 điểm C, H, O, M cùng thuộc một đường tròn
b) Gọi E là trung điểm của CH. Chứng minh: CH.AB = AC.BC và CAE = BAM.
c) Gọi T là giao điểm của hai tia AE và OM. Chứng minh: TC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
ACHM.
a: Xét tứ giác CHOM có
góc CHO+góc CMO=180 độ
nen CHOM là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
Xét ΔCAB vuông tại C co CH là đường cao
nên CH*AB=CA*CB
Cho (O) đường kính AB,lấy điểm C thuộc (O),gọi E là trung điểm BC.Tiếp tuyến tại C của (O) cắt OE ở D
a)Vẽ hình
b)Chứng minh △ABC vuông và OE ⊥ BC
c)Chứng minh DB là tiếp tuyến của (O)
d)Kẻ CH ⊥ AB.Chứng minh CB x OC = OD x HC
x:dấu nhân
b: Xét (O) có
ΔBAC nội tiếp đường tròn
AB là đường kính
Do đó: ΔBAC vuông tại C
Xét (O) có
OE là một phần đường kính
BC là dây
E là trung điểm của BC
Do đó: OE\(\perp\)BC
c: Xét ΔDEC vuông tại E và ΔDEB vuông tại E có
DE chung
CE=BE
Do đó: ΔDEC=ΔDEB
Suy ra: DC=DB
Xét ΔOBD và ΔOCD có
OB=OC
OD chung
DB=DC
Do đó: ΔOBD=ΔOCD
Suy ra: \(\widehat{OBD}=\widehat{OCD}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{OBD}=90^0\)
hay DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm của (O)
Cho (O) đường kính AB,lấy điểm C thuộc (O),gọi E là trung điểm BC.Tiếp tuyến tại C của (O) cắt OE ở D
a)Vẽ hình
b)Chứng minh △ABC vuông và OE ⊥ BC
c)Chứng minh DB là tiếp tuyến của (O)
d)Kẻ CH ⊥ AB.Chứng minh CB x OC = OD x HC
x:dấu nhân
b: Xét (O) có
ΔBAC nội tiếp đường tròn
AB là đường kính
Do đó: ΔBAC vuông tại C
Xét (O) có
OE là một phần đường kính
BC là dây
E là trung điểm của BC
Do đó: OE\(\perp\)BC tại E
c: Xét ΔDEC vuông tại E và ΔDEB vuông tại E có
DE chung
CE=BE
Do đó: ΔDEC=ΔDEB
Suy ra: DC=DB
Xét ΔOCD và ΔOBD có
OC=OB
DC=DB
OD chung
Do đó: ΔOCD=ΔOBD
Suy ra: \(\widehat{OCD}=\widehat{OBD}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{OCD}=90^0\)
hay DB là tiếp tuyến của (O)
Cho (O) đường kính AB,lấy điểm C thuộc (O),gọi E là trung điểm BC.Tiếp tuyến tại C của (O) cắt OE ở D
a)Vẽ hình
b)Chứng minh △ABC vuông và OE ⊥ BC
c)Chứng minh DB là tiếp tuyến của (O)
d)Kẻ CH ⊥ AB.Chứng minh CB x OC = OD x HC
x:dấu nhân
b: Xét (O) có
ΔABC nội tiếp đường tròn
AB là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại C
Xét ΔABC có
O là trung điểm của AB
E là trung điểm của BC
Do đó: OE là đường trung bình của ΔBAC
Suy ra: OE\(\perp\)CB
a) Xét đường tròn (O) có AB là đường kính và △ ABC nội tiếp đường tròn (O)
⇒ \(\widehat{ACB}=90^0\) hay △ ABC vuông tại C.
Có: OC = OB (do cùng bằng bán kính), suy ra O cách đều hai điểm C và B,
⇒ O nằm trên trung trực của BC.
Có EC = EB (do E là trung điểm của BC), suy ra E cách đều hai điểm B và C
⇒ E nằm trên trung trực của BC.
Ta có E và O đều nằm trên đường trung trực của đoạn BC
⇒ OE là trung trực của đoạn BC.
⇒ OE ⊥ BC (đpcm)
b) Vì tiếp tuyến tại C của (O) cắt OE ở D nên ta có D nằm trên EO, suy ra D nằm trên đường trung trực của BC ⇒ DB = DC (tính chất đường trung trực)
Xét ΔCOD và ΔBOD có:
OC = OB (do cùng là bán kính của đường tròn)
OD chung
DB = DC (cmt)
⇒ ΔCOD = ΔBOD ( c − c − c )
⇒ \(\widehat{OCD}=\widehat{OBD}=90^0\)
⇒ BD ⊥ OB
Suy ra DB là tiếp tuyến của (O) (đpcm).
c)Vì DB là tiếp tuyến của (O) (cmt)
⇒ \(\widehat{OBD}=90^0\) ⇒ \(\widehat{CBO}+\widehat{CBD}=90^0\) \(\left(1\right)\)
Vì OD là trung trực của BC (cmt)
⇒ OD ⊥ BC ⇒ \(\widehat{DEB}=90^0\)⇒ \(\widehat{ODB}+\widehat{CBD}=90^0\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) ⇒ \(\widehat{CBO}=\widehat{ODB}\) ( cùng phụ với \(\widehat{DBC}\) )
Xét △ ODB và △ CBH có:
\(\widehat{CHB}=\widehat{OBD}=90^0\)
\(\widehat{CBO}=\widehat{ODB}\) ( cmt )
⇒ △ ODB \(\approx\) △ CBH ( g − g )
⇒ \(\dfrac{OB}{CH}=\dfrac{OD}{BC}\)
⇒ OB . BC = OD . CH
⇒ △ ODB ∼ △ CBH ( g − g )
Mà có OB = OC (do cùng là bán kính của đường tròn)
Suy ra: CB.OC=OD.HC (đpcm)
c: Xét ΔDEB vuông tại E và ΔDEC vuông tại E có
DE chung
BE=CE
Do đó: ΔDEB=ΔDEC
Suy ra: DB=DC
Xét ΔDCO và ΔDBO có
DC=DB
DO chung
OC=OB
Do đó:ΔDCO=ΔDBO
Suy ra: \(\widehat{OCD}=\widehat{OBD}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{OBD}=90^0\)
hay DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm
Cho (O) đường kính AB,lấy điểm C thuộc (O),gọi E là trung điểm BC.Tiếp tuyến tại C của (O) cắt OE ở D
a)Vẽ hình
b)Chứng minh △ABC vuông và OE ⊥ BC
c)Chứng minh DB là tiếp tuyến của (O)
d)Kẻ CH ⊥ AB.Chứng minh CB x OC = OD x HC
x:dấu nhân
b: Xét (O) có
ΔABC nội tiếp đường tròn
AB là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại C
Xét (O) có
OE là một phần đường kính
CB là dây
E là trung điểm của CB
Do đó: OE\(\perp\)BC
c: Xét ΔDEC vuông tại E và ΔDEB vuông tại E có
DE chung
EC=EB
Do đó: ΔDEC=ΔDEB
Suy ra: DC=DB
Xét ΔOCD và ΔOBD có
OC=OB
OD chung
CD=BD
Do đó: ΔOCD=ΔOBD
Suy ra: \(\widehat{OCD}=\widehat{OBD}\)
mà \(\widehat{OCD}=90^0\)
nên \(\widehat{OBD}=90^0\)
hay DB\(\perp\)OB tại B
hay DB là tiếp tuyến của (O)
