Question

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc đường tròn sao cho AC > CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H; kẻ OI vuông góc với AC tại I. a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường trònb) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O; R), tia OI cắt Ax tại M, chứng minh OI.OM=R^2. Tính độ dài đoạn thẳng OI biết OM=2R và R=6cmc) Gọi giao điểm BM với CH là K. Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB và KC=KH

Answer 1

a) Gọi N là trung điểm của OC

Ta có: ΔOHC vuông tại H(CH⊥AB tại H)

mà HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OC(N là trung điểm của OC)

nên \(HN=\dfrac{OC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(ON=CN=\dfrac{OC}{2}\)(N là trung điểm của OC)

nên HN=ON=CN(1)

Ta có: ΔOCI vuông tại I(OI⊥AC tại I)

mà IN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OC(N là trung điểm của OC)

nên \(IN=\dfrac{OC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(CN=ON=\dfrac{CO}{2}\)(N là trung điểm của CO)

nên IN=CN=ON(2)

Từ (1) và (2) suy ra NI=NO=NC=NH

hay I,O,C,H cùng thuộc một đường tròn(đpcm)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔMAO vuông tại A có AI là đường cao ứng với cạnh huyền OM, ta được:

\(OI\cdot OM=OA^2\)

mà OA=R(A∈(O;R))

nên \(OI\cdot OM=R^2\)(đpcm)

Vì OM=2R và R=6cm nên \(OM=2\cdot6cm=12cm\)

Thay OM=12cm và R=6cm vào biểu thức \(OI\cdot OM=R^2\), ta được:

\(OI\cdot12=6^2=36\)

hay OI=3cm

Vậy: Khi OM=2R và R=6cm thì OI=3cm