\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)

Tương tự:

\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\) ; \(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)

Cộng vế với vế:

\(P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^3=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{9}\)

Cân bằng hệ số:

Giả sư: \(2a^2+ab+2b^2=x\left(a+b\right)^2+y\left(a-b\right)^2\) (ta đi tìm x ; y)

\(=xa^2+x.2ab+xb^2+ya^2-y.2ab+yb^2\)

\(=\left(x+y\right)a^2+2\left(x-y\right)ab+\left(x+y\right)b^2\)

Đồng nhất hệ số ta được: \(\hept{\begin{cases}x+y=2\\2\left(x-y\right)=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}2x+2y=4\\2x-2y=1\end{cases}}\Leftrightarrow4x=5\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\Leftrightarrow y=\frac{3}{4}\)

Do vậy: \(2a^2+ab+2b^2=\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2\)

Tương tự với hai BĐT còn lại,thay vào,thu gọn và đặt thừa số chung,ta được:

\(VT\ge\sqrt{\frac{5}{4}}.2.\left(a+b+c\right)=\sqrt{\frac{5}{4}}.2.3=3\sqrt{5}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a = b =c = 1

Hoa 

cả

mắt

chuẩn men

Bài 1:

\(BDT\Leftrightarrow\sqrt{\frac{3}{a+2b}}+\sqrt{\frac{3}{b+2c}}+\sqrt{\frac{3}{c+2a}}\le\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và BĐT AM-GM ta có: 

\(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\ge\frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{2b}}\ge\frac{9}{\sqrt{\left(1+2\right)\left(a+2b\right)}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{a+2b}}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có: 

\(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{b+2c}};\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{c+2a}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(3\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\ge3\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Bài 2: làm mãi ko ra hình như đề sai, thử a=1/2;b=4;c=1/2

Bài 2/

\(\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2c+b^2a}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}\)

\(=\frac{b^2c^2}{a^2b^2c+a^2c^2b}+\frac{c^2a^2}{b^2c^2a+b^2a^2c}+\frac{a^2b^2}{c^2a^2b+c^2b^2a}\)

\(=\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{c^2a^2}{bc+ba}+\frac{a^2b^2}{ca+cb}\)

\(\ge\frac{\left(bc+ca+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)

\(\ge\frac{3\sqrt[3]{ab.bc.ca}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu =  xảy ra khi \(a=b=c=1\)

bạn alibaba dòng thứ nhất rồi sao ra được dòng thứ hai á bạn mình k hiểu

Đặt \(\left(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\) với x, y, z > 0 thì ta có \(x+y+z=1\).

Đặt biểu thức ở VT là A. Ta có: 

\(A=\sqrt{\dfrac{b^2+2a^2}{a^2b^2}}+\sqrt{\dfrac{c^2+2b^2}{b^2c^2}}+\sqrt{\dfrac{a^2+2c^2}{c^2a^2}}=\sqrt{x^2+2y^2}+\sqrt{y^2+2z^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\).

Ta có bất đẳng thức \(\sqrt{a_1^2+a_2^2}+\sqrt{a_3^2+a_4^2}\ge\sqrt{\left(a_1+a_3\right)^2+\left(a_2+a_4\right)^2}\).

Đây là bđt Mincopxki cho hai bộ số thực và dễ dàng cm bằng biến đổi tương đương.

Do đó \(A\ge\sqrt{\left(x+y\right)^2+\left(\sqrt{2}y+\sqrt{2}z\right)^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\sqrt{2}y+\sqrt{2}z+\sqrt{2}x\right)^2}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}=VP\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 3.

Vậy...

Tương tự: \(GT\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)

\(VT=\dfrac{\sqrt{a^2+a^2+b^2}}{ab}+\dfrac{\sqrt{b^2+b^2+c^2}}{bc}+\dfrac{\sqrt{c^2+a^2+a^2}}{ca}\)

\(VT\ge\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{3}\left(a+a+b\right)^2}}{ab}+\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{3}\left(b+b+c\right)^2}}{bc}+\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{3}\left(c+c+a\right)^2}}{ca}\)

\(VT\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)

Các bạn chuyển \(1c^2\) thành \(2c^2\) cho mk nha

Chú ý: \(2a^2+ab+2b^2=\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2\) là ok liền:D

Mấy bạn ơi , cho tớ hỏi:

Luật tính điểm hỏi đáp là gì?
Làm thế nào để câu trả lời của mình đứng đầu tiên trong các câu trả lời?

Ai trả lời nhanh mình tích cho.
 

\(\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}\)\(=\dfrac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+ab\right)\left(ab+c^2+c^2\right)}}\)\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\)\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{2\left(a^2+b^2\right)+2c^2}\)\(=\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\ge ab+2c^2\)

Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\ge bc+2a^2\); \(\sqrt{\dfrac{ac+2b^2}{1+ac-b^2}}\ge ac+2b^2\)

Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\ge2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ac=2+ab+bc+ac\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

\(\left(a^2+2c^2\right)\left(1+2\right)\ge\left(a+2c^2\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+2c^2}\ge\frac{a+2c}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\ge\frac{a+2c}{\sqrt{3ac}}=\frac{ab+2bc}{\sqrt{3abc}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\ge\frac{ac+2ab}{\sqrt{3abc}}\\\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\ge\frac{bc+2ac}{\sqrt{abc}}\end{cases}}\)

Ta được BĐT:

\(VT\ge\frac{1}{3}.\frac{ab+2abc+ac+2ab+bc+2ac}{abc}=\frac{1}{3}.\frac{3\left(ab+bc+ac\right)}{abc}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{3abc}{abc}=3\)

=> đpcm

P/S: Làm tắt vs đoạn này k^o chắc mấy :V

Repair đề \(\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{2a^2+b^2}}{ab}\ge3\sqrt{3}\).Because dấu '=' xảy ra khi \(a=b=c=3\)

Không use condition của đề bài :))

Ta co:

\(VT=\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{b}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}}\)

\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{a}{b}}}+\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{b}{c}}}+\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{c}{a}}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{a}{b}}.\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{b}{c}}.\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{c}{a}}}}}}=3\sqrt{3}\)

equelity iff \(a=b=c=3\)

\(ab+bc+ca=abc\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

\(\Sigma\frac{\sqrt{2a^2+b^2}}{ab}\ge\Sigma\frac{\sqrt{\frac{\left(2a+b\right)^2}{3}}}{ab}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Sigma\frac{2a+b}{ab}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Sigma\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right)=\sqrt{3}\Sigma\frac{1}{a}=\sqrt{3}\)