Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trúc Giang

Cho các số thực dương a,b,c thảo mãn \(a^2+b^2+c^2=1\). CHứng minh:

\(\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}+\sqrt{\dfrac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}+\sqrt{\dfrac{ca+2b^2}{1+ca-b^2}}\ge2+ab+bc+ac\)

 

 

Lê Thị Thục Hiền
19 tháng 6 2021 lúc 21:02

\(\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}\)\(=\dfrac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+ab\right)\left(ab+c^2+c^2\right)}}\)\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\)\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{2\left(a^2+b^2\right)+2c^2}\)\(=\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\ge ab+2c^2\)

Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\ge bc+2a^2\)\(\sqrt{\dfrac{ac+2b^2}{1+ac-b^2}}\ge ac+2b^2\)

Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\ge2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ac=2+ab+bc+ac\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)


Các câu hỏi tương tự
Hoang Hung Quan
Xem chi tiết
Nguyễn Huy Hoàng
Xem chi tiết
byun aegi park
Xem chi tiết
Nguyễn Thiều Công Thành
Xem chi tiết
vung nguyen thi
Xem chi tiết
Phan Cả Phát
Xem chi tiết
michelle holder
Xem chi tiết
Sĩ Bí Ăn Võ
Xem chi tiết
Neet
Xem chi tiết