Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
vung nguyen thi

Cho a,b,c,d,e \(\in\)\(R\) . Chứng minh các BĐT sau:

a/ a2 + b2 + c2 \(\ge\) ab + bc + ca

b/ a2 + b2 +1 \(\ge\) ab + a + b

c/ a2 + b2 +c2 + 3 \(\ge\) 2( a + b + c)

d/ a2 + b2 + c2 \(\ge\) 2( ab + bc - ca)

e/ a4 + b4 + c2 +1 \(\ge\) 2a( ab2 - a +c +1)

f/ \(\dfrac{a^2}{4}\)+ b2 + c2 \(\ge\) ab - ac +2bc

g/ a2 (1+b2) + b2 (1+c2) +c2 (1+a2) \(\ge\) 6abc

h/ a2 +b2+ c2+ d2+ e2 \(\ge\) a(b+c+d+e)

i/ \(\dfrac{1}{a}\)+ \(\dfrac{1}{b}\)+\(\dfrac{1}{c}\) \(\ge\) \(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\)+\(\dfrac{1}{\sqrt{bc}}\)+\(\dfrac{1}{\sqrt{ca}}\) , (a,b,c > 0)

j/ a+b+c \(\ge\) \(\sqrt{ab}\)+\(\sqrt{bc}\)+\(\sqrt{ca}\) ( a,b,c \(\ge\)0)

Unruly Kid
8 tháng 10 2017 lúc 6:39

a) \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

(Luôn đúng)

Vậy ta có đpcm.

Đẳng thức khi \(a=b=c\)

b) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2b+1+a^2-2a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)

(Luôn đúng)

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức khi \(a=b=1\)

Các bài tiếp theo tương tự :v

g) \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}=6abc\)

i) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}};\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ca}}\)

Cộng vế theo vế rồi rút gọn cho 2, ta được đpcm

j) Tương tự bài i), áp dụng Cauchy, cộng vế theo vế rồi rút gọn được đpcm


Các câu hỏi tương tự
Edogawa Conan
Xem chi tiết
Hải Đăng
Xem chi tiết
havy hoang
Xem chi tiết
trần thảo lê
Xem chi tiết
Neet
Xem chi tiết
Nguyễn Trọng Cương
Xem chi tiết
Đỗ Ngọc Bích Châu
Xem chi tiết
Karry Angel
Xem chi tiết
Qúy Công Tử
Xem chi tiết