Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với đường tròn (O). Lấy M trên nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba với nửa đường tròn, tiếp tuyến này cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D.

a) Chứng minh điểm O nằm trên đường tròn (O') đường kính CD.

b) Gọi giao điểm của CO và AM là I, giao điểm của MB và OD là K. Chứng minh MO = IK.

c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (O') đường kính CD.

d) Chứng minh rằng khi M chạy trên nửa đường tròn (O) thì trung điểm của MI chạy trên đường cố định.

Cho nửa đường tròn (O;R), có đường kính AB. Kẻ 2 tia Ax, By vuông góc AB (Ax, By, nửa đường tròn (O) cùng thuộc 1 nửa mặt phẳng bờ chứa AB). Trên nửa đường tròn lấy M (M khác A, B), qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax, By theo thứ tự tại C, D.

a, CM AC+BD=CD.

b, CM góc COD = 90 độ.

c, CM tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.

d, CB cắt DA tại K, MK cắt AB tại H. CM MK//AC//BD.

e, CM K là trung điểm MH.

f, CM AB là tiếp tuyến đường kính CD.

Bài 3(3 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, M là điểm bất kì trên nửa đường tròn (M ne A,B) . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, về các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba với nửa đường tròn, tiếp tuyến này cắt Ax, By lần lượt tại C và D. a, Chứng minh rằng: CD = AC + BD và góc COD = 90 b, Chứng minh rằng: AC.BD=R^ 2 c. Gọi K là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: MK vuông góc với AB

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By với nửa (O). Lấy M bất kì trên nửa (O). Kẻ tiếp tuyến thứ ba với nửa đường tròn tại M cắt Ax, By thứ tự ở C, D.
a) Kẻ đường cao MH của tam giác AMB, MH cắt BC ở K. Chứng minh: K là trung điểm của MH.
b) Chứng minh: 3 đường thẳng BC, AD, MH đồng quy.  
c) Chứng minh: OE vuông góc AD.

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn vẽ hai tiếp tuyến Ax và By với (O). Lấy M bất kì trên (O). Kẻ tiếp tuyến thứ 3 với nửa đường tròn tại M cắt Ax và By tại C và D.

1) CMR: Tam giác COD là tam giác vuông và tích AC.BD không phụ thuộc vào vị trí của M.

2) AM cắt OC tại E, BM cắt OD tại F. Tứ giác MÈO là hình gì?

3) Tứ giác AEFO; ADFB là hình gì?

4)CMR: EC.EO + FO.FD = R2

5) CMR: AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác COD.

6) Xác định vị trí của M để chu vi; diện tích hình thang ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.

7) Tia BM cắt Ax tại K. CMR: C là trung điểm AK.

8) Kẻ đường cao MH của tam giác AMB. MH cắt BC tại N; CMR: N là trung điểm MH và A, N, D thẳng hàng.

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By với nửa (O). Lấy M bất kì trên nửa (O). Kẻ tiếp tuyến thứ ba với nửa đường tròn tại M cắt Ax, By thứ tự ở C, D. Gọi giao điểm của BM và Ax là E. Gọi H là hình chiếu của M trên AB, K là giao điểm của BC và MH.

a) Tìm vị trí điểm M để \(S_{ACDB}\) nhỏ nhất
b) Chứng minh: 3 đường thẳng BC, AD, MH đồng quy.  
c) Chứng minh: OE vuông góc AD.

Cho nửa (O;R) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứ nửa đường tròn từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D.

a)Chứng minh AB là tiếp tuyến đường tròn đường kính BC

b)Gọi giao điểm của CO với AM là I;OD cắt BM tại K

Chứng minh MO=IK

c)Chứng minh khi M chạy trên nửa đường tròn thì trung điểm J của MO chạy trên 1 đường cố định