Cho điểm M nằm ngoài ( O,R). Kẻ MA là trung tuyến. Kẻ AB ⊥ MO.
a) Chứng minh: MB là tiếp tuyến của ( O )
b) Từ ( O) kẻ đường thẳng Vuông góc OA và cắt MB tại K. Chứng minh: KM=KO
c) MO cắt ( O) tại I ( MI<MO) . CMR: AI là phân giác của MAB
Từ điểm M nằm ngoài (O) kẻ tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A,B là tiếp điểm). MO cắt AB tại I. Kẻ đường kính BC của đường tròn, MC cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K.
a, Chứng minh I là trung điểm AB
b, Chứng minh MA²=MK.MC và ∆MKI đồng dạng với ∆MOC
c, Lấy điểm D trên cung lớn AB (DB<DA), kẻ BH⊥AD tại H. Gọi E là giao điểm của MO với (O). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc ED cắt tia BH tại P. Chứng minh BP.OA=HP.OM
Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn . Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MA;MB ( A;B là tiếp điểm ) . Gọi I là giao điểm của MO và AB .
a) Từ B kẻ đường kính BC của (O) , MC cắt (O) tại D ( D khác C) Chứng minh MD.MC=MI.MO
b) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với MC cắt BA tại F . Chứng minh FC là tiếp tuyến của (O)
a.Vì MA,MB là tiếp tuyến của (O)
→ˆMAO=ˆMBO=90o→MAO^=MBO^=90o
→M,A,O,B→M,A,O,B thuộc đường tròn đường kình OM
b.Vì MA,MBMA,MB là tiếp tuyến của (O)→MO⊥AB=I→MO⊥AB=I
→OA2=OI.OM→OA2=OI.OM
C
Vì OF⊥CM=EOF⊥CM=E
→ˆFAC=ˆFEC=90o→◊AFCE,◊MAEO→FAC^=FEC^=90o→◊AFCE,◊MAEO nội tiếp
→M,A,E,O,B→M,A,E,O,B cùng thuộc một đường tròn
→ˆFCA=ˆFEA=ˆFBO→FCA^=FEA^=FBO^
→FC→FC là tiếp tuyến của (O)
Cho đường tròn ( O). Điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là tiếp điểm)
a, Chứng minh OM vuông góc với AB
b, Gọi H là giao điểm của MO và AB. Kẻ đường thẳng MO cắt đường tròn ( O) lần lượt tại hai điểm P, Q ( P nằm giữa M và O). Chứng minh QH.AM=QM.AH
a: Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của BA(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO\(\perp\)AB tại trung điểm H của AB
b: Xét (O) có
\(\widehat{MAP}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AP
\(\widehat{AQP}\) là góc nội tiếp chắn cung AP
Do đó: \(\widehat{MAP}=\widehat{AQP}\)
=>\(\widehat{MAP}=\widehat{MQA}\)
Xét ΔMAP và ΔMQA có
\(\widehat{MAP}=\widehat{MQA}\)
\(\widehat{AMP}\) chung
Do đó: ΔMAP đồng dạng với ΔMQA
=>\(\dfrac{MA}{MQ}=\dfrac{AP}{QA}\left(1\right)\)
Xét (O) có
ΔQAP nội tiếp
QP là đường kính
Do đó: ΔQAP vuông tại A
Xét ΔHAP vuông tại H và ΔHQA vuông tại H có
\(\widehat{HAP}=\widehat{HQA}\left(=90^0-\widehat{HPA}\right)\)
Do đó: ΔHAP đồng dạng với ΔHQA
=>\(\dfrac{HA}{HQ}=\dfrac{AP}{QA}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{MA}{MQ}=\dfrac{HA}{HQ}\)
=>\(MA\cdot HQ=MQ\cdot HA\)
cho (d) cắt (o,r) tại a,b lấy m thuộc d m nằm ngoài (o)mà ma>mb kẻ tiếp tuyến md với(o) cd là tiếp điểm kẻ dây ed vuông góc với mo tại n h là trung điểm ab chứng minh me là tiếp tuyến (o)
b,tứ giác mdho nội tiếp
Cho điểm M nằm ngoài (O;R) sao cho OM=2R. Kẻ 2 tiếp tuyến MA,MB với (O;R), ( A,B là tiếp điểm). Đoạn thẳng OM cắt (O;R) tại P và cắt AB tại H. Tia AO cắt (O;R) tại D và cắt MB tại K. Nối PK cắt BD tại G
a) Chứng minh MO song song với BD
b) Chứng minh OG vuông góc với BD
c) Tử trung điểm I của AH vẽ đường thẳng vuông góc với AO cắ đường tròn tại Q và J. Chứng minh MO là tiếp tuyến của ( A;AQ)
a) Xét (O) có
MA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)
MB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
Do đó: MA=MB(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: OA=OB(=R)
nên O nằm trên đường trung trực của AB(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: MA=MB(cmt)
nên M nằm trên đường trung trực của AB(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AB
hay OM\(\perp\)AB
Xét (O) có
A\(\in\)(O)(gt)
D\(\in\)(O)(gt)
Do đó: OA=OD(=R)
mà A,O,D thẳng hàng(gt)
nên O là trung điểm của AD
Xét (O) có
O là trung điểm của AD(cmt)
O là tâm của đường tròn(O)(gt)
Do đó: AD là đường kính của (O)
Xét (O) có
ΔADB nội tiếp đường tròn(A,D,B\(\in\)(O))
AD là đường kính của (O)(cmt)
Do đó: ΔADB vuông tại B(Định lí)
hay DB\(\perp\)AB
Ta có: DB\(\perp\)AB(cmt)
OM\(\perp\)AB(cmt)
Do đó: MO//BD(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)
) Cho (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA; MB với đường tròn (A,B là tiếp điểm). MO cắt AB tại H. Vẽ đường kính AC của đường tròn, MC cắt đường tròn tại điểm thứ hai là N.
a) Chứng minh MO vuông góc với AB
b) Gọi I là trung điểm của NC, OI cắt AB tại K. Chứng minh OI.OK = R2 và KC là tiếp tuyến của (O)
a: Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó; MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AB
=>MO\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB
b: Ta có: ΔONC cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI\(\perp\)NC tại I
Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao
nên \(OH\cdot OM=OA^2\)
=>\(OH\cdot OM=R^2\)
Xét ΔOIM vuông tại I và ΔOHK vuông tại H có
\(\widehat{IOM}\) chung
Do đó: ΔOIM đồng dạng với ΔOHK
=>\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OM}{OK}\)
=>\(OI\cdot OK=OH\cdot OM=R^2\)
=>\(OI\cdot OK=OC\cdot OC\)
=>\(\dfrac{OI}{OC}=\dfrac{OC}{OK}\)
Xét ΔOIC và ΔOCK có
\(\dfrac{OI}{OC}=\dfrac{OC}{OK}\)
\(\widehat{IOC}\) chung
Do đó: ΔOIC đồng dạng với ΔOCK
=>\(\widehat{OIC}=\widehat{OCK}\)
=>\(\widehat{OCK}=90^0\)
=>KC là tiếp tuyến của (O)
Từ M ngoài (O) kẻ các tiếp tuyến MA, MB. Kẻ đường kính BF và cát tuyến MCD. FC và FD cắt MO tại H và K. Chứng minh O là trung điểm của HK
Từ điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là tiếp điểm). MO cắt AB tại I. Kẻ đường kính BC của đường tròn, MC cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K.
a) Chứng minh I là trung điểm AB.
b) Chứng minh \(MA^2=MK.MC\) và \(\Delta MKI\) đồng dạng với \(\Delta MOC\)
c) Lấy điểm D trên cung lớn AB (DB < DA), kẻ \(BH\perp AD\) tại H. Gọi E là giao điểm của MO với (O). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với ED cắt tia BH tại P. Chứng minh: \(BP.OA=HP.OM\)
a: Xét (O) có
MA,MB là tiếp tuyến
=>MA=MB
mà OA=OB
nên OM là trung trực của AB
=>I là trung điểm của AB
Xét ΔMAK và ΔMCA có
góc MAK=góc MCA
góc AMK chung
=>ΔMAK đồng dạng với ΔMCA
=>MA/MC=MK/MA
=>MA^2=MC*MK=MI*MO
=>MC/MO=MI/MK
=>MC/MI=MO/MK
=>ΔMCO đồng dạng với ΔMIK
1/ Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn O (A,B là hai tiếp điểm) MO cắt AB tại H .Kẻ đường kính BC của đường tròn (O), đường thẳng qua O vuông góc MC lần lượt cắt MC,BA tại K,E.
a) Cho OA = 9 ,OM = 15 .Tính MA và ^AMB ?(kết quả làm tròn đến phút)
b) Chứng minh MA . AE = OA . AC
c) Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).