e có 2 chia hết cho d; 2n+3 lẻ nên (2n+3,4n+8)=1

còn n+1-n=1 nên (n,n+1)=1

Ta có :

n³ + n + 2 = ( n³ + 1 ) + ( n + 1 )

= ( n + 1 ) ( n² - n + 1 ) + ( n + 1 )

= ( n + 1 ) ( n² - n + 2 )

Ta thấy n + 1 > 1 ; n² - n + 2 > 1 nên n³ + n + 2 là hợp số

 Do n là số tự nhiên khác 0 =) n = 2k hoặc 2k + 1 với k là stn

(+)  Nếu n = 2k =)  n^3 + n + 2 = (2k)^3 + 2k + 2 chia hết cho 2     (1)

(+)  Nếu n = 2k + 1 =)  n^3 + n + 2 = lẻ + lẻ +chẵn = chẵn chia hết cho 2     (2)

    Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

111...12111...1 = (111...1000...0 + 111...1) chia hết cho 111...1 nên 111...12111...1 là hợp số

Theo bài ra , ta có : 

111...12111...1 nếu số chữ số 1 ở cả 2 bên như nhau thì nó là hợp số vì ( gọi số chữ số 1 là n ) :

111...12111...1 (n chữ số \(\frac{1}{n}\) chữ số 1 ) = 111...1000...0 ( n chữ số \(\frac{1}{n+1}\) chữ số 0 ) + 111...1 ( n chữ số 1 ) 

Vì tổng trên có 2 số hạng trên đều chia hết cho 111...1 ( n chữ số 1 ) nên số 111...12111...1 ( n chữ số\(\frac{1}{n}\)chữ số 1 ) chia hết cho 111...1 ( n chữ số 1 ) và nó lớn hơn 111...1 (n chữ số 1) nên nó là hợp số.   

 Vậy có đpcm 

Chúc bạn học tốt =))

Theo bài ra , ta có : 
111...12111...1 nếu số chữ số 1 ở cả 2 bên như nhau thì nó là hợp số vì ( gọi số chữ số 1 là n ) :
111...12111...1 (n chữ số
n
1  chữ số 1 ) = 111...1000...0 ( n chữ số
n + 1
1 chữ số 0 ) + 111...1 ( n chữ số 1 

tk cho mk nha $_$

Do \(n\) và \(n+1\) là hai số tự nhiên liên tiếp 

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)⋮2\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+7\right)⋮2\)

Trường hợp 1: \(n=3k\)

Ta có: \(n⋮3\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+7\right)⋮3\) 

Trường hợp 2: \(n=3k+1\)

Ta có \(2n+7=2\left(3k+1\right)+7=6k+9⋮3\)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+7\right)⋮3\)

Trường hợp 3: \(n=3k+2\)

Ta có \(n+1=3k+2+1=3k+3⋮3\)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+7\right)⋮3\)

Vậy \(n\left(n+1\right)\left(2n+7\right)\) vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 6.

Bài 1: Gọi d=ƯCLN(3n+11;3n+2)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3n+11⋮d\\3n+2⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(3n+11-3n-2⋮d\)

=>\(9⋮d\)

=>\(d\in\left\{1;3;9\right\}\)

mà 3n+2 không chia hết cho 3

nên d=1

=>3n+11 và 3n+2 là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 2:

a:Sửa đề: \(n+15⋮n-6\)

=>\(n-6+21⋮n-6\)

=>\(n-6\in\left\{1;-1;3;-3;7;-7;21;-21\right\}\)

=>\(n\in\left\{7;5;9;3;13;3;27;-15\right\}\)

mà n>=0

nên \(n\in\left\{7;5;9;3;13;3;27\right\}\)

b: \(2n+15⋮2n+3\)

=>\(2n+3+12⋮2n+3\)

=>\(12⋮2n+3\)

=>\(2n+3\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;4;-4;6;-6;12;-12\right\}\)

=>\(n\in\left\{-1;-2;-\dfrac{1}{2};-\dfrac{5}{2};0;-3;\dfrac{1}{2};-\dfrac{7}{2};\dfrac{3}{2};-\dfrac{9}{12};\dfrac{9}{2};-\dfrac{15}{2}\right\}\)

mà n là số tự nhiên

nên n=0

c: \(6n+9⋮2n+1\)

=>\(6n+3+6⋮2n+1\)

=>\(2n+1\inƯ\left(6\right)\)

=>\(2n+1\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\)

=>\(n\in\left\{0;-1;\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2};1;-2;\dfrac{5}{2};-\dfrac{7}{2}\right\}\)

mà n là số tự nhiên

nên \(n\in\left\{0;1\right\}\)