Question

CMR với mọi số tự nhiên n thì n(n+1). (2n+7) ⋮ 6

Answer 1

Do \(n\) và \(n+1\) là hai số tự nhiên liên tiếp 

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)⋮2\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+7\right)⋮2\)

Trường hợp 1: \(n=3k\)

Ta có: \(n⋮3\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+7\right)⋮3\) 

Trường hợp 2: \(n=3k+1\)

Ta có \(2n+7=2\left(3k+1\right)+7=6k+9⋮3\)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+7\right)⋮3\)

Trường hợp 3: \(n=3k+2\)

Ta có \(n+1=3k+2+1=3k+3⋮3\)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(2n+7\right)⋮3\)

Vậy \(n\left(n+1\right)\left(2n+7\right)\) vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 6.