Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của DE, DC, BC, BE. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q thuộc cùng một đường tròn
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của cạnh DE, DC, BC, BE. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q thuộc cùng một đường tròn.
Hãy chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật.
Xét ΔCDB có CN/CD=CP/CB
nên NP//BD và NP=DB/2
Xét ΔEDB có EM/ED=EQ/EB
nên MQ//BD và MQ=BD/2
=>NP//MQ và NP=MQ
Xét ΔDEC có DN/DC=DM/DE
nên MN//EC
=>MN vuông góc với AB
=>MN vuông góc với NP
Xét tứ giác MNPQ có
NP//MQ
NP=MQ
MN vuông góc với NP
Do đó: MNPQ là hình chữ nhật
=>M,N,P,Q cùng thuộc 1 đường tròn
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của DE, DC, BC, BE.
Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q thuộc cùng một đường tròn ?
Tham khảo:
Xét tam giác DEC có
M là trung điểm DE
N là trung điểm DC
MN là đường trung bình của tam giác DEC, hay MN//EC (*) và MN=1/2 EC (1)
* Xét tam giác BEC có
Q là trung điểm BE
P là trung điểm BC
PQ là đường trung bình của tam giác BEC, hay PQ//EC và PQ=1/2 EC (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.
* Xét tam giác DEB có
Q là trung điểm BE
M là trung điểm DE
QM là đường trung bình của tam giác BED, hay MQ//DB (3).
Mà AB⊥AC (4)
Từ (1), (3) và (4) suy ra MN⊥MQ (5)
Tứ giác MNPQ là hình bình hành mà có một góc vuông MNPQ là hình chữ nhật.
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo MP và QN
Suy ra IM=IN=IP=IQ (tính chất hình chữ nhật)
Nên các điểm M, N, P, Q đều cách đều I một khoảng cố định
M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của DE, DC, BC, BE. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q thuộc cùng 1 đường tròn
Xét ΔCDB có CN/CD=CP/CB
nên NP//BD và NP=DB/2
Xét ΔEDB có EM/ED=EQ/EB
nên MQ//BD và MQ=BD/2
=>NP//MQ và NP=MQ
Xét ΔDEC có DN/DC=DM/DE
nên MN//EC
=>MN vuông góc với AB
=>MN vuông góc với NP
Xét tứ giác MNPQ có
NP//MQ
NP=MQ
MN vuông góc với NP
Do đó: MNPQ là hình chữ nhật
=>M,N,P,Q cùng thuộc 1 đường tròn
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của cạnh DE, DC, BC, BE. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q thuộc cùng một đường tròn.
Xét ΔCDB có CN/CD=CP/CB
nên NP//BD và NP=BD/2
Xét ΔEDB có EM/ED=EQ/EB
nên MQ//BD và MQ=1/2BD
=>NP//MQ và NP=MQ
Xét ΔDEC có DM/DE=DN/DC
nên MN//EC
=>MN vuông góc với NP
Xét tứ giác MNPQ có
PN//MQ
PN=MQ
góc MNP=90 độ
Do đó: MNPQ là hình chữ nhật
=>MNPQ là tứ giác nội tiếp
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC. Gọi M,N,P,Q lần lượt theo thứ tự là trung điểm của DE,BE,BC,CD. chứng minh rằng MP = NQ
Xét ΔCDB có CN/CD=CP/CB
nên NP//BD và NP=DB/2
Xét ΔEDB có EM/ED=EQ/EB
nên MQ//BD và MQ=BD/2
=>NP//MQ và NP=MQ
Xét ΔDEC có DN/DC=DM/DE
nên MN//EC
=>MN vuông góc với AB
=>MN vuông góc với NP
Xét tứ giác MNPQ có
NP//MQ
NP=MQ
MN vuông góc với NP
Do đó: MNPQ là hình chữ nhật
=>M,N,P,Q cùng thuộc 1 đường tròn
=>MP=NQ
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC. Gọi M,N,P,Q lần lượt theo thứ tự là trung điểm của DE,BE,BC,CD. chứng minh rằng MP = NQ
*) Trong tam giác DEC có EM=ME; DQ=QC => MQ là đường trung bình của tam giác DEC=> MQ//AC
Xét tương tự thì NP//AC
=> MQ//NP.
Tương tự thì NM//PQ => tứ giá MNPQ là hình bình hành.
Ta lại có NM//AB;MQ//AC => \(\widehat{NMQ}=\widehat{BAC}=90^o\) (cái này chắc nâng cao lớp 7 học roài)
=> tứ giá MNPQ là hình chữ nhật => NQ=MP.
cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của DE, DC, BC, BE. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q thuộc cùng 1 đường tròn
Xét ΔCDB có
N là trung điểm của CD
P là trung điểm của CB
Do đó: NP là đường trung bình
=>NP//BD và NP=BD/2(1)
Xét ΔEDB có
M là trung điểm của ED
Q là trung điểm của EB
DO đó: MQ là đường trung bình
=>MQ//DB và MQ=DB/2(2)
Từ (1) và (2) suy ra NP//MQ và NP=MQ
Xét ΔCEB có
P là trung điểm của BC
Q là trung điểm của BE
Do đó PQ là đường trung bình
=>PQ//AC
=>PQ\(\perp\)AB
=>PQ\(\perp\)PN
Xét tứ giác MNPQ có
NP//MQ
NP=MQ
DO đó: MNPQ là hình bình hành
mà \(\widehat{NPQ}=90^0\)
nên MNPQ là hình chữ nhật
=>M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn
cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của DE, DC, BC, BE. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q thuộc cùng 1 đường tròn
Xét ΔCDB có
N là trung điểm của CD
P là trung điểm của CB
Do đó: NP là đường trung bình
=>NP//BD và NP=BD/2(1)
Xét ΔEDB có
M là trung điểm của ED
Q là trung điểm của EB
DO đó: MQ là đường trung bình
=>MQ//DB và MQ=DB/2(2)
Từ (1) và (2) suy ra NP//MQ và NP=MQ
Xét ΔCEB có
P là trung điểm của BC
Q là trung điểm của BE
Do đó PQ là đường trung bình
=>PQ//AC
=>PQ\(\perp\)AB
=>PQ\(\perp\)PN
Xét tứ giác MNPQ có
NP//MQ
NP=MQ
DO đó: MNPQ là hình bình hành
mà \(\widehat{NPQ}=90^0\)
nên MNPQ là hình chữ nhật
=>M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AB , điểm E thuộc cạnh AC. Gọi M, N, P, Q thứ tự là trung điểm DE, BE, BC, CD. Chứng minh MP=NQ
Các bạn giúp mình bài này nhé!
Xét \(\Delta BEC\) , ta có:
N là tđ của BE (gt)
P ----------- BC
=> NP là đtb của \(\Delta BEC\)
=> NP // EC (*)
NP = \(\frac{EC}{2}\) (**)
Xét \(\Delta DEC\) , ta có:
M là tđ của DE
Q ----------- BC
=> MQ là đtb của \(\Delta DEC\)
=> MQ // EC (***)
MQ = \(\frac{EC}{2}\) (****)
Từ (*) và (**) => NP // MQ (// EC)
(***) và (****) => NP = MQ (= \(\frac{EC}{2}\) )
=> Tg NPQM là HBH => NQ = MP