a) Trong tam giác OIK có:

|OK $-$ OI| < IK < |OK + OI| hay $\left|R-r\right|<IK<\left|R+r\right|$.

Vậy hai đường tròn (I) và (K) luôn cắt nhau.
b) Dễ thấy tứ giác OMCN là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông). 
Mà OM = OI + IM = OI + OK;

      ON = OK + KN = OK + OI.
Vậy OM = ON hay hình chữ nhật OMCN là hình vuông.
c) Gọi giao điểm của BK và MC là L và giao điểm của AB với MC là P.
Tứ giác IBKO là hình chữ nhật. Suy ra IB = OK.
Tứ giác MLBI là hình vuông nên ML = BI, BL = OK.
Từ đó suy ra $\Delta BLP=\Delta KOI$.  Vì vậy LP = OI.
Suy ra MP = ON = MC. Hay điểm C trùng với P.
Suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.
d) Nếu OI + OK = a (không đổi) thì OM = MC = a không đổi. Suy ra điểm C cố định.
Vậy đường thẳng AB luôn đi qua điểm C cố định.

a: Gọi H là giao điểm của AO và BC

Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔOBA vuông tại B có \(OA^2=OB^2+BA^2\)

=>\(BA^2+3^2=5^2\)

=>\(BA^2+9=25\)

=>\(BA^2=25-9=16\)

=>BA=4(cm)

AB=AC

mà AB=4cm

nên AC=4cm

Xét ΔBAO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(BH\cdot OA=OB\cdot BA\)

=>\(BH\cdot5=3\cdot4=12\)

=>BH=12/5=2,4(cm)

H là trung điểm của BC

=>BC=2*BH=2*2,4=4,8(cm)

Chu vi tam giác ABC là:

\(C_{ABC}=AB+AC+BC=4+4+4,8=12,8\left(cm\right)\)

b: Xét (O) có

NM,NB là tiếp tuyến

Do đó: NM=NB và ON là phân giác của góc MOB

ON là phân giác của góc MOB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{NOM}\)

Xét (O) có

QM,QC là tiếp tuyến

Do đó: QM=QC và OQ là phân giác của \(\widehat{MOC}\)

OQ là phân giác của góc MOC

=>\(\widehat{MOC}=2\cdot\widehat{MOQ}\)

Chu vi tam giác AQN là:

\(C_{ANQ}=AN+NQ+AQ\)

\(=AN+NM+MQ+AQ\)

\(=AN+NB+QC+AQ\)

=AB+AC

=4+4

=8(cm)

c: Xét ΔBOA vuông tại B có \(sinBOA=\dfrac{BA}{OA}=\dfrac{4}{5}\)

nên \(\widehat{BOA}\simeq53^0\)

Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

Do đó: OA là phân giác của góc BOC

=>\(\widehat{BOC}=2\cdot\widehat{BOA}\simeq106^0\)

Ta có: \(\widehat{BOM}+\widehat{COM}=\widehat{BOC}\)

=>\(2\cdot\left(\widehat{NOM}+\widehat{QOM}\right)=\widehat{BOC}\)

=>\(2\cdot\widehat{NOQ}=\widehat{BOC}\)

=>\(\widehat{NOQ}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BOC}=\widehat{BOA}\simeq53^0\)

Giải thích các bước giải:

MO là t.p.g. của AMBˆAMB^

⇒AMOˆ=BMOˆ=AMBˆ2=450⇒AMO^=BMO^=AMB^2=450

⇒ΔAMO−và−ΔBMO⇒ΔAMO−và−ΔBMO vuông cân

=> OA = AM = MB = BO

=> OAMB là h.thoi có AMBˆ=900AMB^=900

=> OAMB là h.v.

b)

PMPQ=MP+MQ+PQPMPQ=MP+MQ+PQ

=(MP+PC)+(MQ+QC)=(MP+PC)+(MQ+QC)

=(MP+PA)+(MQ+QB)=(MP+PA)+(MQ+QB)

=MA+MB=MA+MB

=2OA=2OA

=2R=2R

c)

OP−là−t.p.g.−của−AOCˆOP−là−t.p.g.−của−AOC^

⇒COPˆ=12AOCˆ⇒COP^=12AOC^ (1)

OQ−là−t.p.g.−của−BOCˆOQ−là−t.p.g.−của−BOC^

⇒COQˆ=12BOCˆ⇒COQ^=12BOC^ (2)

Cộng theo vế của (1) và (2), ta có:

COPˆ+COQˆ=12(AOCˆ+BOCˆ)=12AOBˆCOP^+COQ^=12(AOC^+BOC^)=12AOB^

⇒POQˆ=450

Giải thích các bước giải:

MO là t.p.g. của AMBˆAMB^

⇒AMOˆ=BMOˆ=AMBˆ2=450⇒AMO^=BMO^=AMB^2=450

⇒ΔAMO−và−ΔBMO⇒ΔAMO−và−ΔBMO vuông cân

=> OA = AM = MB = BO

=> OAMB là h.thoi có AMBˆ=900AMB^=900

=> OAMB là h.v.

b)

PMPQ=MP+MQ+PQPMPQ=MP+MQ+PQ

=(MP+PC)+(MQ+QC)=(MP+PC)+(MQ+QC)

=(MP+PA)+(MQ+QB)=(MP+PA)+(MQ+QB)

=MA+MB=MA+MB

=2OA=2OA

=2R=2R

c)

OP−là−t.p.g.−của−AOCˆOP−là−t.p.g.−của−AOC^

⇒COPˆ=12AOCˆ⇒COP^=12AOC^ (1)

OQ−là−t.p.g.−của−BOCˆOQ−là−t.p.g.−của−BOC^

⇒COQˆ=12BOCˆ⇒COQ^=12BOC^ (2)

Cộng theo vế của (1) và (2), ta có:

COPˆ+COQˆ=12(AOCˆ+BOCˆ)=12AOBˆCOP^+COQ^=12(AOC^+BOC^)=12AOB^

⇒POQˆ=450vv

AB tiếp xúc (O) tại H

=>OH vuông góc AB và OH=R=1

ΔOAB vuông tại O nên 1/OH^2=1/OA^2+1/OB^2

=>1/OA^2+1/OB^2=1

\(\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}>=\dfrac{2}{OA\cdot OB}\)

=>OA*OB>=2

=>\(S_{OAB}>=1\)

Dấu = xảy ra khi OA=OB=căn 2