1.Ta có \(\Delta=4m^2-4\left(m^2-m-3\right)=4m+12\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Rightarrow\Delta>0\Rightarrow4m+12>0\Rightarrow m>-3\)

Theo hệ thức Viet ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=m^2-m-3\end{cases}}\)

a. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu \(\Rightarrow x_1.x_2< 0\Rightarrow m^2-m-3< 0\Rightarrow\frac{1-\sqrt{13}}{2}< m< \frac{1+\sqrt{13}}{2}\)

Vậy \(\frac{1-\sqrt{13}}{2}< m< \frac{1+\sqrt{13}}{2}\)

b. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m>0\\x_1.x_2=m^2-m-3>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>0\\m< \frac{1-\sqrt{13}}{2}\end{cases}\left(l\right);\hept{\begin{cases}m>0\\m>\frac{1+\sqrt{13}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow m>\frac{1+\sqrt{13}}{2}}}}\)

Vậy \(m>\frac{1+\sqrt{13}}{2}\)

2. a.Ta có \(\Delta=\left(2m-1\right)^2+4m=4m^2-4m+1+4m=4m^2+1\)

Ta thấy \(\Delta=4m^2+1>0\forall m\)

Vậy phương trình luôn có 2 nghiejm phân biệt với mọi m

b. Theo hệ thức Viet ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=1-2m\\x_1.x_2=-m\end{cases}}\)

Để \(x_1-x_2=1\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=1\Leftrightarrow\left(x_1+x2\right)^2-4x_1x_2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(1-2m\right)^2-4.\left(-m\right)=1\Leftrightarrow4m^2-4m+1+4m=1\)

\(\Leftrightarrow m^2=0\Leftrightarrow m=0\)

Vậy \(m=0\)thoă mãn yêu cầu bài toán 

Để pt có 2 nghiệm trái dấu \(\Leftrightarrow ac< 0\Leftrightarrow4m+5< 0\Rightarrow m< -\dfrac{5}{4}\)

\(x_1=3\left|x_2\right|>0\Rightarrow x_1>0\Rightarrow x_2< 0\Rightarrow3\left|x_2\right|=-3x_2\)

\(\Rightarrow x_1=-3x_2\)

Kết hợp với hệ thức Viet ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1=-3x_2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=3\\x_2=-1\end{matrix}\right.\)

Mà \(x_1x_2=4m+5\Rightarrow4m+5=-3\Rightarrow m=-2\)

Lời giải:

a) $\Delta=(m+1)^2-(2m-2)=m^2+3>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m\in\mathbb{R}$

b) Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m+1)\\ x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(E=x_1^2+2(m+1)x_2+2m-2=x_1^2+(x_1+x_2)x_2+x_1x_2=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=(x_1+x_2)^2=4(m+1)^2\)

b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì (m+2)(m-4)<0

=>-2<m<4

a) để phương trình có 2 nghiệm : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-3\ne0\\\Delta'\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-3\ne0\\\left(m+2\right)^2-\left(m-3\right)\left(m+1\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\6m+7\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\m\ge\dfrac{7}{6}\end{matrix}\right.\)

thay \(x_1=2\) vào phương trình ta có :

\(4\left(m-3\right)-4\left(m+2\right)+m+1=0\Leftrightarrow m=19\)

áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+2\right)}{m-3}=\dfrac{2\left(21\right)}{16}=\dfrac{21}{8}\)

\(\Rightarrow x_2=\dfrac{21}{8}-x_1=\dfrac{21}{8}-2=\dfrac{5}{8}\)

vậy ....................................................................................................

b) áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+2\right)}{m-3}\\x_1x_2=\dfrac{m+1}{m-3}\end{matrix}\right.\)

ta có : \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=10\Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=10\Leftrightarrow\dfrac{2\left(m+2\right)}{m-3}:\dfrac{m+1}{m-3}=10\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2m+4}{m+1}=10\Leftrightarrow2m+4=10m+10\Leftrightarrow m=\dfrac{-3}{4}\left(L\right)\)

vậy không có m thỏa mãn điều kiện bài toán .

câu 2) a) để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2\ne0\\\Delta'\ge0\\p>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2\ne0\\\left(m+1\right)^2-\left(m-2\right)\left(m-1\right)\ge0\\\dfrac{m-1}{m-2}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\5m-1\ge0\\\left(m-1\right)\left(m-2\right)>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\m\ge\dfrac{1}{5}\\\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>2\) vậy \(m>2\)

b) áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-2\left(m+1\right)}{m-2}\\x_1x_2=\dfrac{m-1}{m-2}\end{matrix}\right.\)

ta có : \(x_1^3+x_2^3=64\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3\left(x_1x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=64\)

\(\left(\dfrac{2m+2}{2-m}\right)^3+6\left(\dfrac{m-1}{m-2}\right)\left(\dfrac{m+1}{m-2}\right)=64\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(-2m-2\right)^3}{\left(m-2\right)^3}+\dfrac{6\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)}{\left(m-2\right)^3}=64\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-8m^3-24m^2-24m-8+6m^2-12m^3-6m+12}{m^2-6m^2+12m-8}=64\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-20m^3-18m^2-30m+4}{m^3-6m^2+12m-8}=64\)

\(\Leftrightarrow84m^3-402m^2+798m-516=0\)

giải nốt nha .

câu 3 : để phương trình có 2 nghiệm . \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^2-2\left(2m^2+m-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+4m+1-4m^2-2m+2\ge0\Leftrightarrow2m+3\ge0\Leftrightarrow m\ge\dfrac{-3}{2}\)

áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m-1\\x_1x_2=\dfrac{2m^2+m-1}{2}\end{matrix}\right.\)

ta có : \(\dfrac{x_1^2}{x_2^2}+\dfrac{x_2^2}{x_1^2}>7\Leftrightarrow\dfrac{x_1^4+x_2^4}{x_1^2x_2^2}>7\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1^2+x_2^2\right)^2-2x_1^2x_2^2\left(x_1^2+x_2^2\right)}{x_1^2x_2^2}>7\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\left(x_1+x_2\right)-2x_1x_2\right)^2-2x_1^2x_2^2\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right)}{x_1^2x_2^2}>7\)

thế vào giải ....