\(Q=x^2+2y^2+2xy-2x-6y+2015\)

\(Q=x^2+2x\left(y-1\right)+2y^2-6y+2015\)

\(Q=x^2+2x\left(y-1\right)+y^2-2y+1+y^2-4y+4+2010\)

\(Q=x^2+2x\left(y-1\right)+\left(y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+2010\)

\(Q=\left(x+y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+2010\ge2010\forall x;y\)

Dấu "=" xảy ra khi x=-3;y=4

2015 nha bạn.

\(Q=x^2+2y^2+2xy-2x-6y+2015\)

\(Q=\left(x^2+y^2+1+2xy-2x-2y\right)+\left(y^2-4y+4\right)+2010\)

\(Q=\left(x+y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+2010\ge2010\)

Dâu'=' xảy ra khi và chỉ khi 

\(\hept{\begin{cases}x+y-1=0\\y-2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}}}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng 2010, xảy ra khi x=-1,y=2

Lời giải:

$M=(x^2+y^2+2xy)+x^2+y^2-6x-6y+11$

$=(x+y)^2+x^2+y^2-6x-6y+11$

$=(x+y)^2-4(x+y)+4+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)+5$

$=(x+y-2)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+5\geq 0+0+0+5=5$
Vậy $M_{\min}=5$. Giá trị này đạt tại $x+y-2=x-1=y-1=0$

$\Leftrightarrow x=y=1$

b: Tham khảo:

a: \(P=x^2-5x+\dfrac{25}{4}-\dfrac{25}{4}=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}\ge-\dfrac{25}{4}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=5/2

Bài làm:

a) \(P=x^2-5x=\left(x^2-5x+\frac{25}{4}\right)-\frac{25}{4}\)

\(=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}\le-\frac{25}{4}\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=\frac{5}{2}\)

Vậy \(Min_P=-\frac{25}{4}\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}\)

a) P = x² - 5x 

         = ( x² - 5x + 25/4 ) - 25/4

         = ( x - 5/2 )² - 25/4

( x - 5/2 )² ≥ 0 ∀ x => ( x - 5/2 )² - 25/4 ≥ -25/4

Đẳng thức xảy ra <=> x - 5/2 = 0 => x = 5/2

=> MinF = -25/4 <=> x = 5/2

b) Q = x² + 2y² + 2xy - 2x - 6y + 2015 

         = ( x² + 2xy + y² - 2x - 2y + 1 ) + ( y² - 4y + 4 ) + 2010

         = [ ( x + y )² - 2( x + y ) + 1² ] + ( y - 2 )² + 2010

         = ( x + y - 1 )² + ( y - 2 )² + 2010

\(\hept{\begin{cases}\left(x+y-1\right)^2\ge0\forall x,y\\\left(y-2\right)^2\ge0\forall x\end{cases}}\Rightarrow\left(x+y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+2010\ge2010\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+y-1=0\\y-2=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y-1=0\\y=2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}}\)

=> MinQ = 2010 <=> x = -1 , y = 2

Phần a phải là dấu lớn hơn hoặc bằng nhé, mk đánh nhầm

b) \(Q=x^2+2y^2+2xy-2x-6y+2015\)

\(Q=\left(x^2+2xy+y^2\right)-2\left(x+y\right)+1+\left(y^2-4y+4\right)+2010\)

\(Q=\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1+\left(y-2\right)^2+2010\)

\(Q=\left(x+y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+2010\ge2010\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}}\)

Vậy \(Min_Q=2010\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}}\)

Ai giúp mik với ạ 😢😭😭😭😭😢😷

\(A=\left(x^2+y^2+36-2xy-12x+12y\right)+5y^2-10y+5+109\)

\(A=\left(x-y-6\right)^2+5\left(y-1\right)^2+109\ge109\)

\(A_{min}=109\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=7\\y=1\end{matrix}\right.\)

Ta có :\(B=x^2+2xy+y^2+2x+2y+10\)

\(=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+10\)

\(=\left(x+y+1\right)^2+9\ge9\forall x,y\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x+y+1=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=-1\)

Vậy \(MinB=9\Leftrightarrow x+y=-1\)

\(H=x^2+2y^2-2xy+6y+2023\\=(x^2-2xy+y^2)+(y^2+6y+9)+2014\\=(x-y)^2+(y^2+2\cdot y\cdot3+3^2)+2014\\=(x-y)^2+(y+3)^2+2014\)

Ta thấy: \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\)

              \(\left(y+3\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y+3\right)^2\ge0\forall x;y\)

\(\Rightarrow H=\left(x-y\right)^2+\left(y+3\right)^2+2014\ge2014\forall x;y\)

Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\y+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\y=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=y=-3\)

Vậy \(Min_H=2014\) khi \(x=y=-3\)

\(H=x^2+2y^2-2xy+6y+2023\)

\(2H=2x^2+4y^2-4xy+12y+4046\)

\(2H=4y^2-4y\left(x-3\right)+\left(x-3\right)^2-\left(x-3\right)^2+2x^2+4046\)

\(2H=\left(2y-x+3\right)^2+x^2+6x+9+4028\)

\(H=\dfrac{1}{2}\left[\left(2y-x+3\right)^2+\left(x+3\right)^2\right]+2014\)

Vì \(\left(2y-x+3\right)^2+\left(x+3\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(MinH=2014\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-3\end{matrix}\right.\)

2A=(2x-y)^2+3(y-2)^2+9>=9

A>=9/2

x^2 - 2xy + 6y^2 - 12x + 2y +45 
= x^2 - 2x(y+6) + (y+6)^2 - (y+6)^2 + 6y^2 +2y + 45 
= (x - y - 6)^2 - y^2 - 12y - 36 + 6y^2 + 2y + 45 
= (x - y - 6)^2 + 5y^2 - 10y + 9 
= (x - y - 6)^2 + 5.(y^2 - 2y +1) + 4 
= (x - y - 6)^2 + 5.(y-1)^2 + 4 
=>> MIN = 4 khi (x;y) = {(7;1)}

\(A=x^2-2xy+6y^2-12x+2y+45\)

\(=x^2+y^2+36-2xy-12x+12y+5y^2-10y+5+4\)

\(=\left(x-y-6\right)^2+5\left(y-1\right)^2+4\ge4\)

GTNN A = 4 Khi: \(\hept{\begin{cases}y-1=0\\x-y-6=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\x=7\end{cases}}}\)

\(A=x^2-2xy+6y^2-12x+2y\)\(+45\)

 \(=x^2+y^2+36-2xy-12x\)\(+12y+5y^2-10y+5+4\)

 \(=\left(x-y-6\right)^2+5\left(y-1\right)^2\)\(+4\ge4\)

GTNN của A là 4 khi \(\hept{\begin{cases}y-1=0\\x-y-6=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\x-y=6\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\x=7\end{cases}}}\)

Vậy BT A đạt giá trị nhỏ nhất là 4 tại x = 7 và y = 1