\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AB}\Rightarrow2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{ND}=2\left(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AD}\right)=-2\overrightarrow{AN}+2\overrightarrow{AD}\Rightarrow3\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AD}\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}\)

Do K là trung điểm MN 

\(\Rightarrow\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}\)

Theo tính chất hbh: \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)

Do O là tâm hình bình hành \(\Rightarrow\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

Mà H là trung điểm OC \(\Rightarrow\overrightarrow{OH}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OH}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AH}=-\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AH}\)

\(=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{12}\overrightarrow{AD}\)

\(\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{ND}\)

=>A,N,D thẳng hàng và AN=2ND

ABCD là hình bình hành tâm O

=>O là trung điểm chung của AC và BD

H là trung điểm của OC

nên HO=HC=1/2CO

=>\(HO=HC=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot CA=\dfrac{1}{4}CA\)

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}\)

=>AM=MB và M nằm giữa A và B

=>M là trung điểm của AB

AN+ND=AD

=>2ND+ND=AD

=>AD=3ND

=>AN/AD=2/3

=>\(\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\cdot\overrightarrow{AD}\)

\(\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MH}\)

\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CH}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AM}\right)+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CA}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}\right)\)

\(=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\)

\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{12}\overrightarrow{AD}\)

Lời giải:
** Điểm G không có vai trò gì trong bài toán 

\(\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DI}=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}\)

\(=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

a) N trung điểm AD \(\Rightarrow AN=\frac{AD}{2}=\frac{BC}{2}\)

M trung điểm BC \(\Rightarrow MC=\frac{BC}{2}\Rightarrow AN=MC\)mà AN//MC

nên AMCN là hình bình hành \(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC}\)

b) Tương tự câu a ta được \(\hept{\begin{cases}ND=BM=\frac{1}{2}BC\\ND//BM\end{cases}}\)=> NDMB là hình bình hành=> NB//DM (1)

Xét 2 tam giác ANI và NDK: \(\hept{\begin{cases}AN=ND=\frac{AD}{2}\\\widehat{NAI}=\widehat{DNK}\left(AM//NC\right)\\\widehat{ANI}=\widehat{NDK}\left(NB//MD\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta ANI=\Delta NDK\left(g.c.g\right)}\)

\(\Rightarrow NI=DK\)(2)

(1), (2) => \(\overrightarrow{NI}=\overrightarrow{DK}\)

a: \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)

\(\hept{\begin{cases}AM=NC\\AM||NC\end{cases}\Rightarrow NA||BC}\)

\(\Delta ABK\)có \(\hept{\begin{cases}MI||AK\\MA=MB\end{cases}\Rightarrow IB=IK}\)

\(\Delta CDI\)có \(\hept{\begin{cases}NK||IC\\ND=NC\end{cases}\Rightarrow KD=KI}\)

\(\Rightarrow DK=KI=IB\)