Ta có

\(2^{44}=\left(2^4\right)^{11}\) luôn tận cùng 6

=> \(8.2^{44}\) luôn tận cùng 8

=> \(2+8.2^{44}⋮20\left(1\right)\)

\(9.3^{4n}-9=9\left(81^n-1\right)⋮\left(81-1\right)⋮20\left(2\right)\)

\(2020⋮20\left(3\right)\)

Từ (1);(2);(3)

=> \(9.3^{4n}-8.2^{44}+2019⋮20\)(ĐPCM)

1,

A = n^5 - 5n^3 + 4n = n.(n^4 - 5n^2+4)
= n.( n^4 - 4n^2 - n^2 + 4)
= n.[ n^2.(n^2 - 1) - 4.(n^2 - 1)
= n.(n^2) . (n^2 - 4)
= n.(n-1).(n+1).(n+2).(n-2)
 A chia hết cho 120 (vìđây là 5 số liên tiếp, vì thế nó chia hết cho 2, 3, 4, 5. Mà 2.3.4.5=120 nên A chia hết cho 120 Với mọi n thuộc Z.)

Đặt P = n⁵ - 5n³ + 4n 

= n⁵ - n³ - 4n³ + 4n 

= n³(n² - 1) - 4n(n² - 1) 

= n³(n - 1)(n + 1) - 4n(n - 1)(n + 1) 

= (n - 1)n(n + 1)(n² - 4) 

= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) (tích 5 số nguyên liên tiếp) 

=> P \(⋮3;5;8\)

mà (3;5;8) = 1

=> P \(⋮3.5.8=120\)

Cách 1: 4 n + 3 2 - 25 = 4 n + 3 2 - 5 2

= (4n + 3 + 5)(4n + 3 – 5)

= (4n + 8)(4n – 2)

= 4(n + 2). 2(2n – 1)

= 8(n + 2)(2n – 1).

Vì n ∈ Z nên (n + 2)(2n – 1) ∈ Z. Do đo 8(n + 2)(2n – 1) chia hết cho 8.

Cách 2:  4 n + 3 2 - 25 = 16 n 2 + 24 n + 9 - 25  

= 16 n 2  + 24n – 16

= 8( 2 n 2  + 3n – 2).

Vì n ∈ Z nên 2 n 2  + 3n – 2 ∈ Z. Do đo 8( 2 n 2  + 3n – 2) chia hết cho 8.

\(4n^2\left(n+2\right)+4n\left(n+2\right)=\left(n+2\right)\left(4n^2+4n\right)=4n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Đặt \(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) ta có

+ Nếu n chẵn => A chia hết cho 2

+ Nếu n lẻ thì n+1 chia hết cho 2 => A chia hết cho 2

=> A chia hết cho 2 với mọi n

+ Nếu n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3

+ Nếu n chia 3 dư 1 thì n+2  chia hết cho 3 => A chia hết cho 3

+ Nếu n chia 3 dư 2 thì n+1 chia hết cho 3 => A chia hết cho 3

=> A chia hết cho 3 với mọi n

=> A đồng thời chia hết cho cả 2 và 3 với mọi n => A chia hết cho 6 với mọi n => A có thể biểu diễn thành A=6.k

=> 4A=4.6.k=24.k chia hết cho 24 (dpcm)

4n²(n+2)+4n(n+2)

=4n(n+2)(n+1)

Ta có: 24=2.3.4 và ƯCLN(2,3,4)=1 nên ta chứng minh 4n(n+2)(n+1) chia hết cho 2,3 và 4

n chia cho 2 sẽ có 2 dạng là 2k và 2k+1 (k\(\in\)Z)

+) Với n = 2k thì \(n⋮2\)=> 4n(n+1)(n+2)\(⋮2\)(1)

+) Với n = 2k+1 thì n+1=2k+2

Vì 2k+2\(⋮2\)nên 4n(n+1)(n+2)\(⋮2\)(2)

Từ (1) và (2) => 4n(n+1)(n+2)\(⋮\)2 với mọi n\(\in Z\)

n chia cho 3 có 3 dạng là: 3m+1, 3m+2 và 3m

+) Với n = 3m thì n\(⋮\)3 => 4n(n+1)(n+2)​\(⋮\)3 (3)​

+) với n = 3m+1 thì n+2=3m+1+2=3m+3

Vì 3m+3​\(⋮3\) nên 4n(n+1)(n+2)​\(⋮3\)(4)

+) Với n = 3m+2 thì n+1=3m+2+1=3m+3

Vì 3m+3​\(⋮3\)nên 4n(n+1)(n+2)​\(⋮3\)(5)

Từ (3)(4)(5) => 4n(n+1)(n+2)\(⋮3\)với mọi \(n\in Z\)

Vì 4\(⋮\)4 nên 4n(n+1)(n+2)\(⋮4\)

Ta có: 4n(n+1)(n+2) chia hết cho 2,3,4

=> 4n(n+1)(n+2) \(⋮24\)với mọi \(n\in Z\)

Vậy 4n²(n+2)+4n(n+2)\(⋮24\)với mọi\(n\in Z\)

 Phân tích 5=1.5
nếu n^5+5n^3+4n muốn chja hết cho 5thì phải chja hết cho lân lượt 8,5,3 
ta chứng minh như sau: 
n^5-5n^3+4n= 
(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) 
chja hết cho 8 vì tích 2 số chẵn liên tiếp chia het cho 8, gjả sử n lẻ=>(n-1)(n+1) chja het 8, nếu n chẵn =>n(n+1) chja het 8, 
.cm n chja hết 5, (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là 5 số tự nhiên liên tiêp nên tồn tại 1 số chja hết cho 5, 
cm chja hết 3, 3 số tự nhjen liên tiếp cũng có 1 số chja hết cho 3. 
Từ chứng mjh trên suy ra dfcm cm n chja hết 5, (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là 5 số tự nhiên liên tiêp nên tồn tại 1 số chja hết cho 5, 
cm chja hết 3, 3 số tự nhjen liên tiếp cũng có 1 số chja hết cho 3. 
Từ chứng mjh trên suy ra dfcm

bạn ơi +5^3 chứ không phải -5^3

a: \(=\left(4n-7-5\right)\left(4n-7+5\right)\)

\(=\left(4n-12\right)\left(4n-2\right)\)

\(=8\left(n-3\right)\left(2n-1\right)⋮8\)