Xét hiệu: (x+y)(y+z)(z+x)-8xyz=0
(=) (x+y)>=2√xy
(y+z)>=2√yz
(z+x)>=2√zx
(=) (x+y)(y+z)(z+x)>=8√x^2 y^2 z^2
(=) (x+y)(y+z)(x+z)>=8|x| |y| |z|
(=) ( x+y)(y+z)(z+x)>= 8xyz

Áp dụng BĐT AM - GM ta có: \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.

Vậy x = y = z.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}\cdot2\sqrt{yz}\cdot2\sqrt{zx}\)

\(=8\sqrt{x^2y^2z^2}=8xyz\)

Dấu = khi x=y=z

toán lớp 8 đúng ko

x,y,z không âm, ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số không âm : x và y 
=> x +y >= 2 căn(xy) (1) 
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số không âm : zvà y 
=> y +z >= 2 căn(yz) (2) 
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số không âm : x và z 
=> z +x >= 2 căn(xz) (3) 
nhân (1)(2)(3) => (x+y)(y+z)(z+x) >= 8 căn (x^2 y^2 z^2) 
<=>(x+y)(y+z)(z+x) >= 8xyz 
=> Điều phải chứng minh (theo bdt Côsi dấu "=" xảy ra khi x = y =z = 0 và 1)

       Đáp số :.........................

Áp dụng BĐT Cô - si : a + b ≥ 2\(\sqrt{ab}\)

=> x + y ≥ \(2\sqrt{xy}\) ( 1 )

y + z ≥ \(2\sqrt{yz}\) ( 2 )

x + z ≥ 2\(\sqrt{xz}\) ( 3 )

Nhân tưng vế của ( 1 , 2 , 3) , ta được :

( x + y )( y + z)( z + x ) ≥ \(2\sqrt{xy}\) . \(2\sqrt{yz}\) .2 \(\sqrt{xz}\)

<=> ( x + y )( y + z)( z + x ) ≥ 8 xyz

ta có (x+y)² ≥ 4xy

(y+z)²≥ 4yz

(x+z)²≥4xz

nhân từng vế của bđt trên ta được

(x+y)² (y+z)² (x+z)² ≥ 64 x²y²z²

=> [(x+y)(y+z)(x+z)]²≥ (8xyz)²

=>(x+y)(y+z)(x+z)≥ 8xyz(đpcm)

x+y>=2 căn xy

y+z>=2 căn yz

x+z>=2 căn xz

=>(x+y)(y+z)(x+z)>=8xyz