Question

cho x,y,z\(\ge\)0. chứng minh (x+y)(y+z)(x+z)\(\ge\)8xyz

Answer 1

Áp dụng BĐT Cô - si : a + b ≥ 2\(\sqrt{ab}\)

=> x + y ≥ \(2\sqrt{xy}\) ( 1 )

y + z ≥ \(2\sqrt{yz}\) ( 2 )

x + z ≥ 2\(\sqrt{xz}\) ( 3 )

Nhân tưng vế của ( 1 , 2 , 3) , ta được :

( x + y )( y + z)( z + x ) ≥ \(2\sqrt{xy}\) . \(2\sqrt{yz}\) .2 \(\sqrt{xz}\)

<=> ( x + y )( y + z)( z + x ) ≥ 8 xyz

Answer 2

ta có (x+y)² ≥ 4xy

(y+z)²≥ 4yz

(x+z)²≥4xz

nhân từng vế của bđt trên ta được

(x+y)² (y+z)² (x+z)² ≥ 64 x²y²z²

=> [(x+y)(y+z)(x+z)]²≥ (8xyz)²

=>(x+y)(y+z)(x+z)≥ 8xyz(đpcm)