a) Ta có:

\(8^9+7^9+6^9+...+1^9\)

\(=\left(8^3+7^3+6^3+...+1^3\right)^2\)

\(=\left(\left(8+7+6+...+2+1\right)^2\right)^2\)

\(=\left(8+7+6+...+2+1\right)^4\)

\(=36^4=9^4.4^4\)

Mà \(9^{10}=9^4.9^6\)

\(\Rightarrow9^4.9^6>9^4.4^4\)

Vậy \(9^{10}>8^9+7^9+6^9+...+1^9\)

b) \(45=5.9\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}36⋮9\\9⋮9\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}36^{36}⋮9\\9^{10}⋮9\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left(36^{36}-9^{10}\right)⋮9\)

Lại có:

\(36\div5\) dư \(1\)

\(9\div5\) dư \(1\)

\(\Rightarrow\left(36^{36}-9^{10}\right)⋮5\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\) và \(\left(9;5\right)=1\)

\(\Rightarrow\left(36^{36}-9^{10}\right)⋮45\) (Đpcm)

Ta có:

\(8^9+7^9+6^9+5^9+...+2^9+1^9\)

\(=\left(8^3+7^3+6^3+5^3+...+2^3+1^3\right)^2\)

\(=\left(\left(8+7+6+5+...+2+1\right)^2\right)^2\)

\(=\left(8+7+6+5+...+2+1\right)^4\)

\(=36^4\)

\(=9^4.4^4\)

\(9^{10}=9^4.9^6\)

Vì \(9^4.9^6>9^4.4^4\)

\(\Rightarrow9^{10}>8^9+7^9+6^9+5^9+...+2^9+1^9\)

Đặt \(A=36^{36}-9^{10}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}36^{36}⋮9\\9^{10}⋮9\end{matrix}\right.\Rightarrow A=36^{36}-9^{10}⋮9\)

\(36\equiv1\left(mod5\right)\\ \Rightarrow36^{36}\equiv1\left(mod5\right)\\ 9\equiv-1\left(mod5\right)\\ \Rightarrow9^{10}\equiv1\left(mod5\right)\\ \Rightarrow A=36^{36}-9^{10}\equiv0\left(mod5\right)\\ \Rightarrow A⋮5\)

(5;9)=1 => A chia hết 45

\(36^{36}-9^{10}⋮9\) vì các số hạng đều chia hết cho 9 .

Mặt khác :

36 có tận cùng là 6

\(9^{10}=\left(9^2\right)^5=81^5\) có tận cùng là 1

⇒\(36^{36}-9^{10}\) có tận cùng là 6 - 1 = 5

⇒\(36^{36}-9^{10}\) chia hết cho 5

Mà (5 ; 9 ) = 1

⇒ \(36^{36}-9^{10}⋮45\)

Ta có :

\(36^{36}-9^{10}⋮9\) vì các số hạng đều chia hết cho 9 .

Mặt khác :

\(36^{36}\) có tận cùng là 6

\(9^{10}=\left(9^2\right)^5=81^5\) có tận cùng là 1

\(\Rightarrow36^{36}-9^{10}\) có tận cùng là 6 - 1 = 5

\(\Rightarrow36^{36}-9^{10}\) chia hết cho 5

Mà (5 ; 9 ) = 1

\(\Rightarrow36^{36}-9^{10}\) chia hết cho 45

36^36-9^10

= (45-9)^36-9^10 
= 45m+9^36-9^10 
= 45m +9^10*(9^26-1) 
= 45m +9^10*(81^13-1) 
= 45m+9^10* 10k {do 81^13 tân cùng là 1=>( 81^13-1) chia hết cho 10} 
= 45m+90n =45(m+2n) chia hết cho 45

Vì 45=9x5

=> 36\(^{36}\) -9\(^{10}\) chia hết cho 9 (1) (vì 36^36 và 9^10 đều chia hết cho 9)

36\(^{36}\) tận cùng là 6 (số tận cùng bằng 6 nâng lên luỹ thừa n (n nguyên dương) thì kết quả cũng tận cùng là 6)

9\(^{10}\)tận cùng là 1 (9 luỹ thừa m với m chẵn luôn tận cùng là 1)

=> 36\(^{36}\) -­9^10 tận cùng là 5 và do đó nó chia hết cho 5 (2)

Vì 5 và 9 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên từ (1),(2) => 36\(^{36}\) ­ 9\(^{10}\) chia hết cho 45.

Lời giải:

$A=36^{36}-9^{10}=4^{36}.9^{36}-9^{10}$

$=9^{10}(4^{36}.9^{26}-1)$

Hiển nhiên $9^{10}\vdots 9\Rightarrow A\vdots 9$

Lại có:

$4\equiv -1\pmod 5; 9\equiv -1\pmod 5$

$\Rightarrow 4^{36}.9^{26}\equiv (-1)^{36}(-1)^{26}\equiv 1\pmod 5$

$\Rightarrow 4^{36}.9^{26}-1\vdots 5$

$\Rightarrow A\vdots 5$

Vậy $A\vdots 5; A\vdots 9\Rightarrow A\vdots 36$