CMR:
a) \(n^4-n^3-4n^2-6n⋮348\) với n chẵn, n>4
b)\(2n\left(16-n^4\right)⋮30\)
c)\(n^4-10n^2+9⋮384\forall nl\text{ẻ}\)
Cứu tớ
+Chứng minh:
\(n^4-10n^2+9\text{ }⋮\text{ }384\text{ }v\text{ới }n\text{ }l\text{ẻ }\left(n\in Z\right) \)
Vì n lẻ nên n=2k+1
\(n^4-10n^2+9\)
\(=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\)
\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)
\(=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1-3\right)\left(2k+1+3\right)\)
\(=2k\cdot\left(2k+2\right)\cdot\left(2k-2\right)\cdot\left(2k+4\right)\)
\(=16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)\)
Vì k-1;k+1;k;k+2 là bốn số liên tiếp
nên \(\left(k-1\right)\cdot k\cdot\left(k+1\right)\cdot\left(k+2\right)⋮4!=24\)
\(\Leftrightarrow16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)⋮384\)
a) CMR: ( n^2+n-1)^2 chia hết cho 24 với mọi số nguyên n
b) CMR: n^3+6n^2 +8n chia hết cho 48 với mọi số n chẵn
c) CMR : n^4 -10n^2 +9 chia hết cho 384 với mọi số n lẻ
Cho A = n4 - 4n3 -4n2 +16n ( ∀ n chẵn và n>4)
CMR: A⋮ 384.
Lời giải:
Ta có:
\(A=n^4-4n^3-4n^2+16n=n^3(n-4)-4n(n-4)\)
\(=(n^3-4n)(n-4)=n(n^2-4)(n-4)=n(n-2)(n+2)(n-4)\)
Vì $n$ chẵn nên đặt $n=2k$ ($k\in\mathbb{N}, k>2$)
Khi đó:
\(A=2k(2k-2)(2k+2)(2k-4)=16(k-2)(k-1)k(k+1)(1)\)
Vì $k-2,k-1,k,k+1$ là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong đó chắc chắn tồn tại một số chia hết cho $4$ và một số chia $4$ dư $2$
\(\Rightarrow (k-2)(k-1)k(k+1)\vdots 8(2)\)
Mặt khác: $k-2, k-1, k$ là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn trong đó tồn tại một số chia hết cho $3$.
\(\Rightarrow (k-2)(k-1)k\vdots 3\Rightarrow (k-2)(k-1)k(k+1)\vdots 3(3)\)
Từ (2); (3) mà $(3,8)=1$ nên $(k-2)(k-1)k(k+1)\vdots 24$ $(4)$
Từ \((1);(4)\Rightarrow A=16(k-2)(k-1)k(k+1)\vdots (16.24)\)
Hay $A\vdots 384$ (đpcm)
Lời giải:
Ta có:
\(A=n^4-4n^3-4n^2+16n=n^3(n-4)-4n(n-4)\)
\(=(n^3-4n)(n-4)=n(n^2-4)(n-4)=n(n-2)(n+2)(n-4)\)
Vì $n$ chẵn nên đặt $n=2k$ ($k\in\mathbb{N}, k>2$)
Khi đó:
\(A=2k(2k-2)(2k+2)(2k-4)=16(k-2)(k-1)k(k+1)(1)\)
Vì $k-2,k-1,k,k+1$ là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong đó chắc chắn tồn tại một số chia hết cho $4$ và một số chia $4$ dư $2$
\(\Rightarrow (k-2)(k-1)k(k+1)\vdots 8(2)\)
Mặt khác: $k-2, k-1, k$ là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn trong đó tồn tại một số chia hết cho $3$.
\(\Rightarrow (k-2)(k-1)k\vdots 3\Rightarrow (k-2)(k-1)k(k+1)\vdots 3(3)\)
Từ (2); (3) mà $(3,8)=1$ nên $(k-2)(k-1)k(k+1)\vdots 24$ $(4)$
Từ \((1);(4)\Rightarrow A=16(k-2)(k-1)k(k+1)\vdots (16.24)\)
Hay $A\vdots 384$ (đpcm)
+Chứng minh:
\(n^5-n\text{ }⋮\text{ }30\text{ }v\text{ới }n\in N\)
\(n^4-10n^2+9\text{ }⋮\text{ }384\text{ }v\text{ới }n\text{ }l\text{ẻ }\left(n\in Z\right)\)
\(10^n+18n-28\text{ }⋮\text{ }27\text{ }v\text{ới }n\in N\)
Ta có:\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Do 5n(n-1)(n+1) có dạng 5k. Do đó chia hết cho 5.
Lại có: n ; n-1 ; n+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích chúng sẽ tồn tại thưa số chia hết cho 3, chia hết cho 2.
Do đó5n(n-1)(n+1) \(⋮30\)
Mặt khác: n(n-1)(n+1)(n-2(n+2) là tích 5 số tự nhiên liên tiêp, do đó tích của chúng có tồn tại 1 thừa số chi hết cho, 5, một thwuaf số chia hết cho 3, một thưa só chia hét cho 2.
Do đó n5-n chia hết cho 30
\(A=n^4-10n^2+9=n^4-n^2-9n^2+9=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)
Đặt n = 2k+1 Thay vào A có: \(2k\left(2k+2\right)\left(2k-2\right)\left(2k+4\right)=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
=> \(A⋮16\)
Lại có k;k-1;k=1;k=2 là 3 số nguyên liên tiếp do đó tích chung số chia hét cho 2,3,4(3 số nguyên tố cùng nhau). Nên A chia hết 24
=> A\(A⋮384\)
Chứng minh: a,\(n^3+6n^2+8n\) chia hết cho 48 ( với n chẵn)
b, \(n^4-10n^2+9\) chia hết cho 384 ( với n lẻ)
\(a,n^3+6n^2+8n\)
\(=n\left(n^2+6n+8\right)\)
\(=n\left(n^2+4n+2n+8\right)\)
\(=n\left[\left(n^2+4n\right)+\left(2n+8\right)\right]\)
\(=n\left[n\left(n+4\right)+2\left(n+4\right)\right]\)
\(=n\left(n+2\right)\left(n+4\right)\)
Vì n chẵn ,đây là tích của ba số chẵn liên tiếp => chia hết cho 48
b, tương tự a
a) n^4-10n^3+35n^2-50n+7 chia hết cho 24 với n nguyên
n^4+4n^3-8n^2-16n+368 chia hết cho 384 với n chẵn
1) Chứng minh rằng
a) n4 + 6n3 +11n + 6n ⋮ 24 (n thuộc Z)
b) n4 - 4n3 - 4n2 + 16n ⋮ 384 (với n chẵn và lớn hơn 4)
c) 3n4 - 4n3 + 21n2 - 10n ⋮ 24 (với mọi n thuộc Z)
d) n5 - 5n3 + 4n ⋮ 120
2) Với mọi số tự nhiên n lẻ
a) n2 + 4n + 3 ⋮ 8
b) n3 + 3n2 - n - 3 ⋮ 48
c) n12 - n8 - n4 + 1 ⋮ 512
d) n8 - n6 - n4 + n2 ⋮ 1152
mina hầu như lớp 9 trở xuống , ít người lớp 9 trở lên lắm
1.b ) Câu hỏi của Nghĩa Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Chứng minh rằng :
a) \(n^3+6n^2+8n\) chia hết cho 48 với mọi số chẵn n
b) \(n^4-10n^2+9\) chia hết cho 384 với mọi số lẻ n
a)Đặt \(A=n^3+6n^2+8n\)
\(A=n\left(n^2+6n+8\right)\)
\(A=n\left(n^2+2n+4n+8\right)\)
\(A=n\left[n\left(n+2\right)+4\left(n+2\right)\right]\)
\(A=n\left(n+2\right)\left(n+4\right)⋮\forall n\) chẵn
b)Đặt \(B=n^4-10n^2+9\)
\(B=n^4-n^2-9n^2+9\)
\(B=n^2\left(n^2-1\right)-9\left(n^2-1\right)\)
\(B=\left(n-3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)⋮384\forall n\) lẻ
CMR n^4-4.n^3-4n^2+16n chia hết cho 384 với n chẵn, n> hoặc =4
Ta phân tích biểu thức đã cho ra nhân tử :
A=n4−4n3−4n2+16nA=n4−4n3−4n2+16n
=[n4−4n3]−[4n2−16n]=n3(n−4)−4n(n−4)=[n4−4n3]−[4n2−16n]=n3(n−4)−4n(n−4)
=n(n−4)[n2−4]=n(n−2)(n+2)(n−4)=n(n−4)[n2−4]=n(n−2)(n+2)(n−4)
Vì n chẵn và lớn hơn 4 nên ta đặt n = 2k + 2 , trong đó k > 1 và biểu diễn theo k,ta có : A=(2k+2)(2k)(2k+4)(2k−2)A=(2k+2)(2k)(2k+4)(2k−2)
=16k(k−1)(k+1)(k+2)=16(k−1)(k)(k+1)(k+2)=16k(k−1)(k+1)(k+2)=16(k−1)(k)(k+1)(k+2)
Ta nhận thấy (k−1)(k)(k+1)(k+2)(k−1)(k)(k+1)(k+2)là tích của bốn số nguyên dương liên tiếp,tích này chia hết cho 2.3.4 = 24
Vậy tích A đã cho chia hết cho 16.2.3.4 = 384 => đpcm