a, ĐK: \(x\le-1,x\ge3\)

\(pt\Leftrightarrow2\left(x^2-2x-3\right)+\sqrt{x^2-2x-3}-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{x^2-2x-3}+3\right).\left(\sqrt{x^2-2x-3}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-2x-3}=-\dfrac{3}{2}\left(l\right)\\\sqrt{x^2-2x-3}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-3=1\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-4=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\pm\sqrt{5}\left(tm\right)\)

b, ĐK: \(-2\le x\le2\)

Đặt \(\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=t\Rightarrow t^2=10-3x-4\sqrt{4-x^2}\)

Khi đó phương trình tương đương:

\(3t-t^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=0\\\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2+x=8-4x\\2+x=17-4x+12\sqrt{2-x}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{6}{5}\left(tm\right)\\5x-15=12\sqrt{2-x}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Vì \(-2\le x\le2\Rightarrow5x-15< 0\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=\dfrac{6}{5}\)

c, ĐK: \(0\le x\le9\)

Đặt \(\sqrt{9x-x^2}=t\left(0\le t\le\dfrac{9}{2}\right)\)

\(pt\Leftrightarrow9+2\sqrt{9x-x^2}=-x^2+9x+m\)

\(\Leftrightarrow-\left(-x^2+9x\right)+2\sqrt{9x-x^2}+9=m\)

\(\Leftrightarrow-t^2+2t+9=m\)

Khi \(m=9,pt\Leftrightarrow-t^2+2t=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}9x-x^2=0\\9x-x^2=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(tm\right)\\x=9\left(tm\right)\\x=\dfrac{9\pm\sqrt{65}}{2}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình \(m=f\left(t\right)=-t^2+2t+9\) có nghiệm

\(\Leftrightarrow minf\left(t\right)\le m\le maxf\left(t\right)\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{9}{4}\le m\le10\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2-2\left(m+4\right)x+5m+10}=x-3\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3\ge0\\2x^2-2\left(m+4\right)x+5m+10=x^2-6x+9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge3\\x^2-2\left(m+1\right)x+5m+1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Pt đã cho có nghiệm khi (1) có ít nhất 1 nghiệm thỏa mãn \(x\ge3\)

- Để (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(5m+1\right)\ge0\Leftrightarrow m^2-3m\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m\le0\end{matrix}\right.\) (1)

- Để 2 nghiệm của (1) thỏa mãn \(x_1\le x_2< 3\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-3\right)\left(x_2-3\right)>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}< 3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2-3\left(x_1+x_2\right)+9>0\\x_1+x_2< 6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5m+1-6\left(m+1\right)+9>0\\2\left(m+1\right)< 6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 4\\m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m< 2\)

\(\Rightarrow\) Để pt có ít nhất 1 nghiệm thỏa mãn \(x\ge3\) thì \(m\ge2\) (2)

Kết hợp (1); (2) \(\Rightarrow m\ge3\)

ĐK; \(-1\le x\le3\)

Đặt \(\sqrt{-x^2+2x+3}=t\left(0\le t\le2\right)\)

\(pt\Leftrightarrow m+1=-x^2+2x+3+4\sqrt{-x^2+2x+3}\)

\(\Leftrightarrow m+1=f\left(t\right)=t^2+4t\)

\(f\left(0\right)=0;f\left(2\right)=12\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(minf\left(t\right)\le m+1\le maxf\left(t\right)\)

\(\Leftrightarrow0\le m+1\le12\)

\(\Leftrightarrow-1\le m\le11\)

a.

ĐKXĐ: \(-4\le x\le2\)

Đặt \(\sqrt{-x^2-2x+8}=t\ge0\)

Do \(\sqrt{-x^2-2x+8}=\sqrt{-\left(x+1\right)^2+9}\le\sqrt{9}=3\)

\(\Rightarrow0\le t\le3\)

Khi đó pt trở thành:

\(8-t^2-4t-m=0\)

\(\Leftrightarrow m=-t^2-4t+8\) (1)

Xét hàm \(f\left(t\right)=-t^2-4t+8\) trên \(\left[0;3\right]\)

\(-\frac{b}{2a}=-2\notin\left[0;3\right]\) ; \(f\left(0\right)=8\) ; \(f\left(3\right)=-13\)

\(\Rightarrow-13\le f\left(t\right)\le8\) ; \(\forall t\in\left[0;3\right]\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(-13\le m\le8\)

b.

ĐKXĐ: \(-3\le x\le1\)

Đặt \(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}=t\)

\(\Rightarrow t^2=4+2\sqrt{-x^2-2x+3}\Rightarrow-\sqrt{-x^2-2x+3}=\frac{4-t^2}{2}\)

Ta có:

\(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}\ge\sqrt{x+3+1-x}=2\Rightarrow t\ge2\)

\(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}\le\sqrt{2\left(x+3+1-x\right)}=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow2\le t\le2\sqrt{2}\)

Pt đã cho trở thành:

\(2t+\frac{4-t^2}{2}+m-3=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}t^2-2t+1=m\) (1)

Xét hàm \(f\left(t\right)=\frac{1}{2}t^2-2t+1\) trên \(\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

\(-\frac{b}{2a}=2\in\left[2;2\sqrt{2}\right]\) ; \(f\left(2\right)=-1\) ; \(f\left(2\sqrt{2}\right)=5-4\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow-1\le f\left(t\right)\le5-4\sqrt{2}\) ; \(\forall t\in\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

\(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(-1\le m\le5-4\sqrt{2}\)

Lý thuyết: tìm m để pt đưa về dạng \(f\left(x\right)=m\) có nghiệm trên 1 đoạn \(\left[m;n\right]\) nào đó

- Đầu tiên, chuyển m về 1 vế (gọi là cô lập m), vế còn lại là 1 hàm bậc 2 theo biến x (hoặc biến t) dạng \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

- Biện luận được khoảng xác định của x là đoạn \(\left[m;n\right]\) (điều này có thể làm ngay từ đầu)

- Tiến hành tính toán giá trị \(-\frac{b}{2a}\) rồi quan sát xem giá trị này có nằm trên đoạn \(\left[m;n\right]\) kia không (nếu không nằm trên đoạn [m;n] thì bỏ qua, ko cần quan tâm đến nó nữa)

- Tính toán các giá trị \(f\left(m\right)\) ; \(f\left(n\right)\) ; \(f\left(-\frac{b}{2a}\right)\) (chỉ tính toán \(f\left(-\frac{b}{2a}\right)\) nếu \(-\frac{b}{2a}\in\left[m;n\right]\) )

- Lấy 2 giá trị lớn nhất (LN) và nhỏ nhất (NN) trong các giá trị vừa tính toán

Khi đó ta kết luận được pt có nghiệm khi \(NN\le m\le LN\)