Cho các số thực dương x,y,z t/m xy+yz+xz=1
Tìm min của \(P=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)
cho các số thực x,y,z dương sao cho xy+yz+xz=1
tìm min A =\(10\left(x^2+y^2\right)+z^2\)
\(A=2\left(x^2+y^2\right)+\left(8y^2+\dfrac{1}{2}z^2\right)+\left(8x^2+\dfrac{1}{2}z^2\right)\ge2.2\sqrt{x^2y^2}+2\sqrt{8x^2.\dfrac{1}{2}z^2}+2.\sqrt{8x^2.\dfrac{1}{2}z^2}=4\left(xy+yz+zx\right)=4\)
\(A_{min}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)
Cho các số dương x,y,z . Chứng minh rằng:
\(\frac{xy}{x^2+yz+xz}+\frac{yz}{y^2+xy+xz}+\frac{xz}{z^2+yz+xy}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+xz}\)
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/
Cho các số dương x, y, z. CMR:
\(\frac{xy}{x^2+yz+xz}+\frac{yz}{y^2+xy+xz}+\frac{xz}{z^2+yz+xy}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+xz}\)
Bunhiacopxki: \(\left(x^2+yz+zx\right)\left(y^2+yz+zx\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{xy}{x^2+yz+zx}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Thiết lập tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow VT\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)+yz\left(z^2+xy+zx\right)+zx\left(x^2+yz+xy\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
\(VT\le\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Ta chỉ cần chứng minh: \(\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)
\(\Leftrightarrow xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le x^3y+y^3z+z^3x\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge x+y+z\) (đúng theo Cauchy-Schwarz)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Cho các số dương x, y, z. CMR:
\(\frac{xy}{x^2+yz+xz}+\frac{yz}{y^2+xy+xz}+\frac{xz}{z^2+xz+xy}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+xz}\)
BĐT của bạn bị ngược dấu, mà có vẻ các mẫu số cũng ko đúng (để ý mẫu số thứ 2 và thứ 3 đều có chung xy+xz ko hợp lý)
Cho x,y,z là các số thực dương. Tìm Max
Q=\(\frac{xy}{x^2+xy+yz}+\frac{yz}{y^2+yz+xz}+\frac{zx}{z^2+zx+xy}\)
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Online Math - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3\)
\(CMR:\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge xy+yz+xz\)
\(3=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)
\(\Rightarrow xyz\le1\)
\(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\le\frac{x^2+1+1}{3}+\frac{y^2+1+1}{3}+\frac{z^2+1+1}{3}=3\)
Ta co:
\(A=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{x\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{y\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{z\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\ge x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\)
\(\Rightarrow3A\ge3\left(x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\right)\ge\left(x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\right)\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\right)\)
\(\ge\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow A\ge xy+yz+zx\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz, ta có: \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=3=x^2+y^2+z^2\)(Do \(x^2+y^2+z^2=3\))
Ta có: \(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{x}{\sqrt[3]{yz.1}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx.1}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy.1}}\)
\(\ge\frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}+\frac{y}{\frac{z+x+1}{3}}+\frac{z}{\frac{x+y+1}{3}}\)\(=\frac{3x}{y+z+1}+\frac{3y}{z+x+1}+\frac{3z}{x+y+1}\)
\(=\frac{3x^2}{xy+zx+x}+\frac{3y^2}{yz+xy+y}+\frac{3z^2}{zx+yz+z}\)\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)}\)(Theo BĐT Cauchy - Schwarz dạng Engle)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+x^2+y^2+z^2}=\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3=x^2+y^2+z^2\)
\(\ge xy+yz+zx\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
\(\sqrt[3]{yz\cdot1}\le\frac{y+z+1}{3};\sqrt[3]{xz\cdot1}\le\frac{x+z+1}{3};\sqrt[3]{yx\cdot1}\le\frac{y+x+1}{3}\)
Nên \(A=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{x+z+1}+\frac{z}{y+x+1}\right)\)\(=3\left(\frac{x^2}{xy+yz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{yz+xz+z}\right)=B\)
\(B\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+x+y+z}\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+x^2+y^2+z^2}=\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3\ge xy+yz+zx\)
do \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=9\Rightarrow x+y+z\le3=x^2+y^2+z^2;xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2=3\)
cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn: \(x^2+y^2+z^2=xyz\)
Tìn GTLN của \(A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+xz}+\frac{z}{z^2+xy}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+xz}+\frac{z}{z^2+xy}\leq \frac{x}{4}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{yz}\right)+\frac{y}{4}\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{xz}\right)+\frac{z}{4}\left(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{xy}\right)\)
\(\Leftrightarrow A\leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\right)\)
\(\Leftrightarrow A\leq \frac{1}{4}\left(\frac{xy+yz+xz}{xyz}+\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\right)\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy, ta biết rằng \(xy+yz+xz\leq x^2+y^2+z^2\)
Do đó:
\(A\leq \frac{1}{4}\left(\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}+\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\right)=\frac{x^2+y^2+z^2}{2xyz}=\frac{1}{2}\)
Vậy $A_{\max}=\frac{1}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=3$
Cho các số thực x,y,z khác 0 thoả mãn :\(\frac{xy}{x+y}=\frac{yz}{y+z}=\frac{xz}{x+z}\)
Tính giá trị của biểu thức : M = \(\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+xz}\)
Cho các số thực x, y, z \(\ne\)0 thỏa mãn \(\frac{xy}{x+y}=\frac{yz}{y+z}=\frac{xz}{x+z}\)
Tính giá trị của biểu thức \(M=\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+xz}\)
Từ đề <=>\(\frac{xyz}{xz+yz}=\frac{xyz}{xy+xz}=\frac{xyz}{xy+zy}\Leftrightarrow xz=xy=zy\)
Có : \(zx=xy\Rightarrow y=z\left(\text{Vì }x\ne0\right),xy=zy\Rightarrow x=z\)
=> x=y=z
tự tính M :]]