Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+xz}+\frac{z}{z^2+xy}\leq \frac{x}{4}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{yz}\right)+\frac{y}{4}\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{xz}\right)+\frac{z}{4}\left(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{xy}\right)\)
\(\Leftrightarrow A\leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\right)\)
\(\Leftrightarrow A\leq \frac{1}{4}\left(\frac{xy+yz+xz}{xyz}+\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\right)\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy, ta biết rằng \(xy+yz+xz\leq x^2+y^2+z^2\)
Do đó:
\(A\leq \frac{1}{4}\left(\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}+\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\right)=\frac{x^2+y^2+z^2}{2xyz}=\frac{1}{2}\)
Vậy $A_{\max}=\frac{1}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=3$
