Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lê Thanh Nhàn

Cho các số dương x, y, z. CMR:

\(\frac{xy}{x^2+yz+xz}+\frac{yz}{y^2+xy+xz}+\frac{xz}{z^2+yz+xy}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+xz}\)

Lê Thanh Nhàn
13 tháng 6 2020 lúc 23:26

@Nguyễn Việt Lâm

Nguyễn Việt Lâm
13 tháng 6 2020 lúc 23:44

Bunhiacopxki: \(\left(x^2+yz+zx\right)\left(y^2+yz+zx\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{xy}{x^2+yz+zx}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)

Thiết lập tương tự và cộng lại:

\(\Rightarrow VT\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)+yz\left(z^2+xy+zx\right)+zx\left(x^2+yz+xy\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)

\(VT\le\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)

Ta chỉ cần chứng minh: \(\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)

\(\Leftrightarrow xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le x^3y+y^3z+z^3x\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge x+y+z\) (đúng theo Cauchy-Schwarz)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)


Các câu hỏi tương tự
Lê Thanh Nhàn
Xem chi tiết
Lê Thị Mai
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Clgt
Xem chi tiết
Hoàng Trần Trà My
Xem chi tiết
Bi Bi
Xem chi tiết
Lê Đình Quân
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết