#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long giaithua(long long n)
{
if(n==1) return 1;
else return (giaithua(n-1)*n);
}
int main()
{
double i,n,tong,t,gt;
cin>>t;
for(i=1;i<=t;i++)
{
cin>>n;
tong=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
gt=giaithua(i);
tong=sqrt(tong+gt);
}
cout<<fixed<<setprecision(10)<<tong<<'\n';
}
return 0;
}

Ta có : \(\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}\)

\(=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{1}\)

\(=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Vậy đẳng thức đã được chứng minh .

Áp dụng :

\(\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+....+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)

\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+.....+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)

\(=-1+\sqrt{100}\)

\(=-1+10=9\)

a, Để A nhận giá trị dương thì \(A>0\)hay \(x-1>0\Leftrightarrow x>1\)

b, \(B=2\sqrt{2^2.5}-3\sqrt{3^2.5}+4\sqrt{4^2.5}\)

\(=4\sqrt{5}-9\sqrt{5}+16\sqrt{5}=\left(4-9+16\right)\sqrt{5}=11\sqrt{5}\)

( theo công thức \(A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}\))

c, Với \(a\ge0;a\ne1\)

\(C=\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\frac{1-\sqrt{a}}{1-a}\right)^2\)

\(=\left(\frac{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\frac{1-\sqrt{a}}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}\right)^2\)

\(=\left(\sqrt{a}+1\right)^2.\frac{1}{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}=1\)

1)

\(A=\sqrt{x+\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}}}=\sqrt{x+\sqrt{x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}}}=\sqrt{x+\sqrt{\left(\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{2}\right)^2}}=\sqrt{x+\left|\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{2}\right|}\)\(A=\sqrt{x+\dfrac{1}{4}+\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\left(\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{2}\right)^2}=\left|\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{2}\right|\)

\(A=\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{2}\)

\(A=a\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ge\dfrac{1}{2}\\x\ge\dfrac{-1}{4}\\\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}=a-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ge\dfrac{1}{2}\\x\ge\dfrac{-1}{4}\\x=a^2-a\end{matrix}\right.\)

kết luận:

a <1/2 pt vô nghiệm

a>=1/2 có nghiệm duy nhất x =a^2 -a

Em thử nhá, ko chắc đâu ạ. Em chỉ làm đc một cái thôi

Gọi biểu thức trên là A

*Chứng minh A > 1/6

Đặt \(x=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}\left(\text{n dấu căn}\right)\)

Thì \(x=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}}< \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{9}}}}=\sqrt{6+3}=3\) (1)

Và \(x^2-6=\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}\left(\text{n -1 dấu căn}\right)\)

Biểu thức trở thành \(A=\frac{3-x}{9-x^2}=\frac{1}{3+x}\). Từ (1) suy ra \(A>\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}\)(*)