Thay \(x=0;y=0\) vào giả thiết ta được \(f\left(0\right)=0\)

Thay \(y=0\) ta được \(f\left(x\right)+f\left(-x\right)=0\Rightarrow f\) là hàm lẻ

(Phân tích 1 chút: khi đã có hàm lẻ, ta cần thế tiếp 1 cặp sao cho "khử" được biểu thức phức tạp dạng hàm lồng đầu tiên, bằng cách tìm 1 giá trị y sao cho: \(x.f\left(y\right)-y=-\left(x+y\right)\) hoặc là \(x.f\left(y\right)-y=-\left(xy-x\right)\). Cái thứ nhất cho ta \(x.\left[f\left(y\right)+1\right]=0\Rightarrow f\left(y\right)=-1\) , nghĩa là ta chỉ cần tìm 1 hằng số c sao cho \(f\left(c\right)=-1\). Cái thứ 2 ko cho điều gì tốt nên bỏ qua. Bây giờ ta đi tìm c. Vế phải cần bằng -1, nghĩa là \(xy=-\dfrac{1}{2}\), vế trái cần khử bớt 2 số hạng. Nhưng trước khi có c thì \(f\left(x.f\left(y\right)-y\right)\) chưa khử được, nên ta cần khử cặp sau, bằng cách cho \(xy-x=-\left(x+y\right)\Rightarrow xy=-y\Rightarrow x=-1\), thay vào \(xy=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}\). Xong.)

Thế \(x=-1;y=\dfrac{1}{2}\) ta được:

\(f\left(-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\right)+f\left(-\dfrac{1}{2}+1\right)+f\left(-1+\dfrac{1}{2}\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow f\left(-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\right)=-1\)

Đặt \(c=-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\) là 1 hằng số nào đó

\(\Rightarrow f\left(c\right)=-1\)

Thế \(y=c\) vào ta được:

\(f\left(x.f\left(c\right)-c\right)+f\left(cx-x\right)+f\left(x+c\right)=2c.x\)

\(\Leftrightarrow f\left(-x-c\right)+f\left(x+c\right)+f\left(cx-x\right)=2c.x\)

\(\Leftrightarrow f\left(cx-x\right)=2c.x\) (1)

- Nếu \(c=1\Rightarrow f\left(0\right)=2x\) ko thỏa mãn \(f\left(0\right)=0\) 

\(\Rightarrow c\ne1\), khi đó đặt \(cx-x=t\) \(\Rightarrow x=\dfrac{t}{c-1}\)

(1) trở thành \(f\left(t\right)=\dfrac{2c}{c-1}.t\)

Đặt \(\dfrac{2c}{c-1}=a\) \(\Rightarrow f\left(t\right)=a.t\) 

Hay hàm cần tìm có dạng \(f\left(x\right)=ax\) với a là hằng số

Bài 1: 

a: \(=-10x^3+20x^4-5x\)

b: \(=\dfrac{1}{3}a^2b+7a^5-1\)

c: \(=a^3+8+25-a^3=33\)

d: \(=x^2-16+8-x^3=-x^3+x^2-8\)

e: \(=a^3+1+8-a^3=9\)

f: \(=\dfrac{7-2x+4x-8}{2x+3}=\dfrac{2x-1}{2x+3}\)

g: \(=\dfrac{3}{2\left(x+3\right)}-\dfrac{2}{x\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{3x-4}{2x\left(x+3\right)}\)

Vì \(2^n-1\)và \(2^n+1\)là 2 số lẻ liên tiếp

Đặt \(2^n-1=3k\)và \(2^n+1=3k+2\)\(k\inℕ\)

\(\Rightarrow\left(2^n-1\right).\left(2^n+1\right)=3k.\left(3k+2\right)\)

mà \(3k⋮3\)\(\Rightarrow3k.\left(3k+2\right)⋮3\)

hay \(A⋮3\left(đpcm\right)\)

Ta có:

\(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f\left(x\right)=0x^3+0x^2+0x+0\)

\(\Rightarrow a=b=c=d\left(theo.pp.đa.thức.đồng.nhất\right)\\ Chúc.bạn.học.Toán.tốt.\)

Đề hình như sai 

Cho a=1, b=2, c=3, d=0, x=0 có đúng đâu nhỉ

Ké ạ

Nếu x = 1 

=> (x - 1).f(x) = (x + 4).f(x + 8) (1)

=> 0.f(1) = 5.f(9)

=> f(9) = 0

=> x = 1 là 1 nghiệm của f(x)

Nếu x = -4

=> (1) <=> 3.f(-4) = 0.f(4)

=> 3.f(-4) = 0

=> f(-4) = 0

=> x = -4 là 1 nghiệm của f(x) 

=> F(x) có ít nhất 2 nghiệm

Trên đây nó ko cho đăng ảnh,mn chịu khó nhập link này vào nha:https://i.imgur.com/xQNntGH.png