a: OI+IB=OB

=>OI=OB-IB

=>\(OI=R-r\)

=>Hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc trong với nhau tại B

b: Ta có: ΔODE cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của DE

Xét tứ giác ADCE có

H là trung điểm chung của AC và DE

=>ADCE là hình bình hành

Hình bình hành ADCE có AC\(\perp\)DE

nên ADCE là hình thoi

c: Xét (I) có

ΔCKB nội tiếp

CB là đường kính

Do đó: ΔCKB vuông tại K

=>CK\(\perp\)KB tại K

=>CK\(\perp\)DB tại K

Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

=>AE\(\perp\)BE tại E

Ta có: ADCE là hình thoi

=>AE//CD

mà AE\(\perp\)EB

nên CD\(\perp\)EB

Xét ΔDEB có

BH,DC là các đường cao

BH cắt DC tại C

Do đó: C là trực tâm của ΔDEB

=>EC\(\perp\)DB

mà CK\(\perp\)DB

và EC,CK có điểm chung là C

nên E,C,K thẳng hàng

d:

Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

Xét tứ giác DHCK có \(\widehat{DHC}+\widehat{DKC}=90^0+90^0=180^0\)

nên DHCK là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{HKC}=\widehat{HDC}\)

mà \(\widehat{HDC}=\widehat{ADH}\)(DH là phân giác của góc ADC do ADCE là hình thoi)

nên \(\widehat{HKC}=\widehat{ADH}\)

mà \(\widehat{ADH}=\widehat{ABD}\left(=90^0-\widehat{DAB}\right)\)

nên \(\widehat{HKC}=\widehat{ABD}\)

Ta có: IC=IK

=>ΔICK cân tại I

=>\(\widehat{ICK}=\widehat{IKC}\)

\(\widehat{HKI}=\widehat{HKC}+\widehat{IKC}\)

\(=\widehat{ABD}+\widehat{ICK}\)

\(=\widehat{KBC}+\widehat{KCB}=90^0\)

=>HK\(\perp\)KI tại K

=>HK là tiếp tuyến tại K của (I)

a) Xét tam giác ABC có:

\(AB^2+AC^2=8^2+6^2=100=BC^2\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại A

\(\Rightarrow AB\perp AC\)

Mà \(A\in\left(C;CA\right)\)

=> AB là tiếp tuyến đường tròn (C)

b) Ta có: AB là tiếp tuyến, C là tâm

=> BC cắt đường tròn 

Áp dụng PTG: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{25}{144}\)

\(\Rightarrow AH^2=\dfrac{144}{25}\Rightarrow AH=\dfrac{12}{5}\)

Áp dụng HTL: \(HC=\dfrac{AC^2}{BC}=3,2\left(cm\right)\)

Vậy \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{HAC}}=\dfrac{AB\cdot AC}{AH\cdot HC}=\dfrac{12}{3,2\cdot2,4}=\dfrac{25}{16}\)

Tham khảo