Cho đường tròn (O) đường kính AB , điểm C nằm giữa A và O . Vẽ đường tròn (I) có đường kính CB
a) Xét vị trí tương đối của 2 đường tròn (O) và (I)
b) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC . Tứ giác ADCE là hình gì ? Vì sao ?
c) Gọi K là giao điểm của DB là đường tròn (I) . Chứng minh rằng 3 điểm E,C,K thẳng hàng
d) Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn (I)
*******BÀI NÀY VẼ HÌNH HƠI KHÓ NÊN CẦN CẢ HÌNH********
a: OI+IB=OB
=>OI=OB-IB
=>\(OI=R-r\)
=>Hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc trong với nhau tại B
b: Ta có: ΔODE cân tại O
mà OH là đường cao
nên H là trung điểm của DE
Xét tứ giác ADCE có
H là trung điểm chung của AC và DE
=>ADCE là hình bình hành
Hình bình hành ADCE có AC\(\perp\)DE
nên ADCE là hình thoi
c: Xét (I) có
ΔCKB nội tiếp
CB là đường kính
Do đó: ΔCKB vuông tại K
=>CK\(\perp\)KB tại K
=>CK\(\perp\)DB tại K
Xét (O) có
ΔAEB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAEB vuông tại E
=>AE\(\perp\)BE tại E
Ta có: ADCE là hình thoi
=>AE//CD
mà AE\(\perp\)EB
nên CD\(\perp\)EB
Xét ΔDEB có
BH,DC là các đường cao
BH cắt DC tại C
Do đó: C là trực tâm của ΔDEB
=>EC\(\perp\)DB
mà CK\(\perp\)DB
và EC,CK có điểm chung là C
nên E,C,K thẳng hàng
d:
Xét (O) có
ΔADB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔADB vuông tại D
Xét tứ giác DHCK có \(\widehat{DHC}+\widehat{DKC}=90^0+90^0=180^0\)
nên DHCK là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{HKC}=\widehat{HDC}\)
mà \(\widehat{HDC}=\widehat{ADH}\)(DH là phân giác của góc ADC do ADCE là hình thoi)
nên \(\widehat{HKC}=\widehat{ADH}\)
mà \(\widehat{ADH}=\widehat{ABD}\left(=90^0-\widehat{DAB}\right)\)
nên \(\widehat{HKC}=\widehat{ABD}\)
Ta có: IC=IK
=>ΔICK cân tại I
=>\(\widehat{ICK}=\widehat{IKC}\)
\(\widehat{HKI}=\widehat{HKC}+\widehat{IKC}\)
\(=\widehat{ABD}+\widehat{ICK}\)
\(=\widehat{KBC}+\widehat{KCB}=90^0\)
=>HK\(\perp\)KI tại K
=>HK là tiếp tuyến tại K của (I)
