a) Vì HN\(\perp\)AC 

HM \(\perp\)AB

Gọi O là giao điểm MN và HA

=> HMA = MAN = HMA = 90°

Xét tứ giác MHNA ta có : 

HMA = MAN = HMA = 90° 

=> MHNA là hình chữ nhật 

=> MH = AN ( tính chất) 

=> HMA = MAN = HMA = MHN = 90° 

Mà AH\(\perp\)BC 

Mà ta thấy : 

MHA + AHN = MHN = 90° 

CHN + AHN = AHC = 90° 

=> MHA = NHC ( cùng phụ với AHN )

=> MHA = NHC = AHN 

Xét ∆AHC có : 

HN là phân giác ( AHN = CHN ) 

HN \(\perp\)AC 

AHC = 90° 

=> ∆AHC vuông cân tại H ( tính chất) 

=> HN là trung tuyến ∆ vuông cân AHC 

=> HN = AN = NC ( tính chất đường truyến trong ∆ vuông)

Mà MH = AN (cmt)

=> MH = HN 

=> ∆MHN cân tại H 

Xét ∆MHN ta có : 

Mà HA là phân giác ( MHA = NHA )

=> HA là đường cao vừa là trung tuyến 

=> HA \(\perp\)MN 

Hay HO\(\perp\)MN 

=> HON = 90° 

Mà CHA = 90° (AH \(\perp\)BC )

=> HON = CHA = 90° 

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị 

=> BC//MN 

=> ABC = NMA ( đồng vị) 

Sửa đề: F là hình chiếu của E trên AC

a: Xét ΔCAB có

E là trung điểm của CB

EF//AB

=>F là trung điểm của AC

Xét ΔCAB có

E là trung điểm của CB

ED//AC

=>D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có EF//AB

nên EF/Ab=CE/CB=1/2

=>EF=1/2AB=DB

Xét tứ giác BDFE có

FE//BD

FE=BD

=>BDFE là hình bình hành

b: Xét ΔABC có AD/AB=AF/AC

nên DF//BC

=>DF//EH

ΔHAC vuông tại H có HF là trung tuyến

nên HF=AC/2

=>HF=ED
Xét tứ giác EHDF có

EH//DF

ED=HF

=>EHDF là hình thang cân

c: Xét tứ giác ABCN có

F là trung điểm chung của AC và BN

=>ABCN là hình bình hành

=>AN//CB

Xét tứ giác AMCE có

F là trung điểm chung của AC và ME

=>AMCE là hình bình hành

=>AM//CE

=>AM//CB

mà AN//CB

nên A,N,M thẳng hàng

a: Xét tứ giác BMDH có

gócc BMD+góc BHD=180 độ

=>BMDH là tứ giác nội tiếp

b: góc AMN+góc OAM

=góc ADN+(180 độ-góc AOB)/2

=90 độ-góc HAC+90 độ-góc AOB/2

=180 độ-(90 độ-góc ACB)-góc ACB

=90 độ

=>MN vuông góc AO

=>MN//tiếp tuyến tại A của (O)

a: Xét tứ giác AEHD có 

\(\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=\widehat{DAE}=90^0\)

Do đó: AEHD là hình chữ nhật

Suy ra: AH=DE

a, Vì \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\) nên ADHE là hcn

Do đó AH=DE 

a: \(\widehat{C}=30^0\)

AB=4cm

\(AC=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

a. Pytago: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5\left(cm\right)\)

AD là trung tuyến ứng cạnh huyền BC nên \(AD=\dfrac{1}{2}BC=2,5\left(cm\right)\)

b. Vì \(\widehat{AMD}=\widehat{AND}=\widehat{MAN}=90^0\) nên AMDN là hcn

Vậy AD=MN

c. ABC vuông cân A thì AD là trung tuyến cũng là p/g

Do đó AMDN là hình thoi(1)

Lại có D là trung điểm BC,DM//AC(⊥AB) nên M là trung điểm AB

Cmtt ta được N là trung điểm AC

Mà AB=AC nên AM=AC

Kết hợp (1) ta được AMDN là hình vuông