yehbfv

a) C/m: góc ACB= góc NMA

a) ta có AMHN là hình chữ nhật 

+)=> AHN = MNH 

+) => AM song song NH => AMN = MNH 

=> AMN=AHN

AHN =BCA vì cùng cộng với NHC bằng 90 độ 

=> AMN =BCA

b)

a) Vì HN\(\perp\)AC 

HM \(\perp\)AB

Gọi O là giao điểm MN và HA

=> HMA = MAN = HMA = 90°

Xét tứ giác MHNA ta có : 

HMA = MAN = HMA = 90° 

=> MHNA là hình chữ nhật 

=> MH = AN ( tính chất) 

=> HMA = MAN = HMA = MHN = 90° 

Mà AH\(\perp\)BC 

Mà ta thấy : 

MHA + AHN = MHN = 90° 

CHN + AHN = AHC = 90° 

=> MHA = NHC ( cùng phụ với AHN )

=> MHA = NHC = AHN 

Xét ∆AHC có : 

HN là phân giác ( AHN = CHN ) 

HN \(\perp\)AC 

AHC = 90° 

=> ∆AHC vuông cân tại H ( tính chất) 

=> HN là trung tuyến ∆ vuông cân AHC 

=> HN = AN = NC ( tính chất đường truyến trong ∆ vuông)

Mà MH = AN (cmt)

=> MH = HN 

=> ∆MHN cân tại H 

Xét ∆MHN ta có : 

Mà HA là phân giác ( MHA = NHA )

=> HA là đường cao vừa là trung tuyến 

=> HA \(\perp\)MN 

Hay HO\(\perp\)MN 

=> HON = 90° 

Mà CHA = 90° (AH \(\perp\)BC )

=> HON = CHA = 90° 

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị 

=> BC//MN 

=> ABC = NMA ( đồng vị) 

.Ta có :

AH⊥BC,HE⊥AB→\(\widehat{AEH}=\widehat{AHB}\)

=> \(\Delta AEH\approx\Delta AHB\)(g.g)

=>\(\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AH}{AB}\)

=>AH\(^2\)=AE.AB

Lam tuong tu ta dc AH\(^2\)=AF.AC

=> AE.AB=AF.AC

a: ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên AE*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nen AF*AC=AH^2

=>AE*AB=AF*AC

=>AE/AC=AF/AB

=>ΔAEF đồng dạng với ΔACB

a: Xét ΔABK vuông tại A và ΔIBK vuông tại I có

BK chung

\(\widehat{ABK}=\widehat{IBK}\)

Do đó ΔABK=ΔIBK

b: Ta có: \(\widehat{CAI}+\widehat{BAI}=90^0\)

\(\widehat{HAI}+\widehat{BIA}=90^0\)

mà \(\widehat{BAI}=\widehat{BIA}\)

nên \(\widehat{CAI}=\widehat{HAI}\)

hay AI là phân giác của góc HAC

c: \(\widehat{AFK}=\widehat{BFH}=90^0-\widehat{KBC}\)

\(\widehat{AKF}=90^0-\widehat{ABK}\)

mà \(\widehat{KBC}=\widehat{ABK}\)

nên \(\widehat{AFK}=\widehat{AKF}\)

hay ΔAFK cân tại A

Hình vẽ:

a, \(\Delta AHD\) vuông tại \(H\), \(HD\perp AB\Rightarrow AD.AB=AH^2\)

\(\Delta AHC\) vuông tại \(H\), \(HE\perp AC\Rightarrow AE.AC=AH^2\)

\(\Rightarrow AD.AB=AE.AC\)

b, Ta cần chứng minh \(NE\perp DE;MD\perp DE\)

Ta có \(\Delta AHE\sim\Delta ACH\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AHE}=\widehat{ACH}\)

Vì ADHE là hình chữ nhật nên \(\widehat{ADE}=\widehat{AHE}\)

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{ACH}\)

Lại có \(\widehat{MDB}=\widehat{MBD}\Rightarrow\widehat{ADE}+\widehat{MDB}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MDE}=90^o\Rightarrow MD\perp DE\)

Tương tự \(NE\perp DE\)

\(\Rightarrowđpcm\)

a: XétΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

a: ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên AM*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên AN*AC=AH^2

=>AM*AB=AN*AC

b: Xét ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên MA*MB=HM^2

ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao

nên NA*NC=HN^2

Xét tứ giác AMHN có

góc AMH=góc ANH=góc MAN=90 độ

=>AMHN là hình chữ nhật

=>AH=MN

=>MN^2=AH^2=HB*HC

=>HB*HC=MA*MB+NA*NC

Bạn tự vẽ hình.

(a) \(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pythagoras\right)\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\left(cm\right)\)

+) \(sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}\Rightarrow\hat{B}\approx53^o\)

+) \(\hat{C}=90^o-\hat{B}\approx90^o-53^o=37^o\)

(b) +) \(AB.AC=BC.AH\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{3\cdot4}{5}=2,4\left(cm\right)\)

\(\hat{A}=\hat{E}=\hat{F}=90^o\left(gt\right)\Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật.

Do đó, \(EF=AH\left(đpcm\right)\)