Đặt \(P=n^3-9n^2+26n-24\)

Dùng Hoocne hoặc Bedu để phân tích P => \(P=\left(n-3\right)\left(n^2-6n+8\right)\)

\(\Rightarrow P=\left(n-3\right)\left(n-4\right)\left(n-2\right)\)

Ta nhận thấy vì n nguyên nên n-3 ; n-4 ; n-2 đều nguyên

Mà 3 số nguyên liên tiếp chỉ có tích là số chính phương khi 1 trong số chúng bằng 0

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{l}n-3=0\\ n-4=0\\ n-2=0\end{array}\right.\) \(\Rightarrow\left[\begin{array}{l}n=3\\ n=4\\ n=2\end{array}\right.\)

=> n= 2;3;4

PT\(\Leftrightarrow x^2-x+1=xy-2y\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+x-2+3=y(x-2)\)

\(\Leftrightarrow y\left(x-2\right)-x^2+2x-x+2=3\)

\(\Leftrightarrow y\left(x-2\right)-\left(x+1\right)\left(x-2\right)=3\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(y-x-1\right)=3\) (*)

Vì \(\) \(x,y\in Z\) nên \(\begin{cases}x-2\in Z\\ y-x-1\in Z\end{cases}\)

=>Để (*) xảy ra thì tích của 2 biểu thức phải là tích của 2 ước số nguyên của 3

Đến đây bạn thay \(\left(x-2;y-x-1\right)\in{ ( 1 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( - 1 , - 3 ) , ( - 3 , - 1 ) }\)

\(\Rightarrow(x-2;y-x-1)\in{(1;3),(3;1),(-1;-3),(-3;-1)}\)

\((x;y)\in{(3;7),(5;7),(1;-1),(-1;-1)}\)

a) \(\lim_{x\to\infty}\frac{-3n^3+2n^2+1}{2n^3-1}\)

\(=\lim_{x\to\infty}\frac{n^3\left(-3+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^3}\right)}{n^3\left(2-\frac{1}{n^2}\right)}\)

\(\) \(=\lim_{x\to\infty}\frac{-3+\frac{2}{n^2}_{}+\frac{1}{n^3}}{n^3\left(2-\frac{1}{n^2}\right)}=\frac{-3}{2}\)

b)\(\lim_{x\to\infty}\frac{2n+1}{n^2+n+3}=\lim_{x\to\infty}\frac{n\left(2+\frac{1}{n}\right)}{n^2\left(1+\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}\right)}\)

\(=\lim_{x\to\infty}\frac{n}{n^2}\frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}}\)

\(=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{n^{}}.\lim_{x\to\infty}\frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}}\)

\(=0.\lim_{x\to\infty}\frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}}=0\)

c)\(\lim_{x\to\infty}\frac{2025n-2024}{n-2023}=\lim_{x\to\infty}\frac{n\left(2025-2024\frac{1}{n}\right)}{n\left(1-\frac{2023.1}{n}\right)}\)

\(=\lim_{x\to\infty}\frac{2025-\frac{2024}{n}}{1-\frac{2023}{n}}\)

\(=\frac{2025-2024.0}{1-2023.0}=\frac{2025}{1}=2025\)

\(L=2A=8\left(\operatorname{cm}\right)\)

\(\Rightarrow A=\frac82=4\left(\operatorname{cm}\right)\)

Vật thực hiện 10 dao động trong 5s

=> Vật thực hiện 1 dao động trong \(\frac{5}{10}=\frac12=0,5\left(s\right)\)

\(\Rightarrow T=0,5s\Rightarrow\omega=\frac{2\pi}{0,5}=4\pi\left(\frac{rad}{s}\right)\)

Vật qua VTCB 1 đoạn 2 cm => x=-2 cm

Dùng VTLG ta xác định được \(cos\alpha=\frac{-2}{-4}=\frac{\pi}{3}\)

Vì vật CĐ theo chiều dương => vecto quét về biên dương => Lấy vecto bên dưới

=>\(\varphi=2\pi-\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{4\pi}{3}\)

=> \(\) \(PT:x=4cos\left(4\pi t+\frac{4\pi}{3}\right)\)

Bán kính \(R=\frac{20}{2}=10\left(\operatorname{cm}\right)\)

\(\omega=\frac{v}{R}=\frac{31,4}{10}=3,14\left(rad/s\right)\)

Câu 6:

Xác định \(\left(P\right)\) qua M và song song AB,CD

Trong \(\left(ABC\right)\) kẻ \(MN//AB\) \(\left(N\in BC\right)\)

\(\Rightarrow MN\subset\left(P\right)\) (1) (vì đi qua M và song song AB )

Trong \(\left(ACD\right)\) kẻ \(MP//CD\left(P\in AD\right)\)

\(\Rightarrow MP\subset\left(P\right)\left(2\right)\) (Vì đi qua M và song song CD)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\left(P\right)\equiv\left(MNP\right)\)

Xét (P) và BCD có

\(N\in\left(P\right)\cap\left(BCD\right)\)

Lại có \(MP//CD\)

=> Giao tuyến là đường thẳng đi qua N và // với MP và CD

Câu 5:

Trong \(\left(ABC\right)\) gọi \(BP\cap AM=E\)

Trong \(\left(ACD\right)\) gọi \(DP\cap AN=F\)

\(\Rightarrow EF\subset\left(AMN\right)\)(1) vì \(\begin{cases}E\in AM\subset AMN\\ F\in AN\subset AMN\end{cases}\)

Lại có \(\begin{cases}E\in BP\subset\left(BPD\right)\\ F\in PD\subset\left(BPD\right)\end{cases}\)

\(\Rightarrow EF\subset\left(BPD\right)\) (2)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow EF=\left(AMN\right)\cap\left(BPD\right)\)

Dùng phản chứng:Giả sử \(\sqrt5-\sqrt3\) là số hữu tỉ

Khi đó tồn tại 2 số nguyên p,q sao cho \(\sqrt5-\sqrt3=\frac{p}{q}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt5-\sqrt3\right)^2=\left(\frac{p}{q}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow5-2\sqrt{15}+3=\frac{p^2}{q^2}\)

\(\Leftrightarrow8+2\sqrt{15}=\frac{p^2}{q^2}\) \(\Leftrightarrow-2\sqrt{15}=\frac{p^2}{q^2}-8\)

\(\sqrt{15}=\frac{8q^2-p^2}{2q^2}\) (Vô lý)

Vì \(\sqrt{15}\) là số vô tỉ (do 15 không phải số chính phương ) và \(\frac{8q^2-p^2}{2q^2}\) là số hữu tỉ

=> \(\sqrt5-\sqrt3\) là số vô tỉ (Theo phản chứng)

a)Xét phương trình hoàn độ giao điểm của (d1) và (d2)

\(x+3=3x+7\)

\(\Leftrightarrow2x=-4\Rightarrow x=-2\)

\(\Rightarrow y=-2+3=1\)

=> Toạ độ giao điểm là \(A\left(-2;1\right)\)

b) Để đường thẳng (d3) đi qua giao điểm của (d1) và (d2) thì

(d3) đi qua \(A\left(-2;1\right)\)

\(\Rightarrow1=\left(m+1\right).\left(-2\right)-5\)

\(\Leftrightarrow1=-2m-2-5\Leftrightarrow2m=-2-5-1\)

\(\Leftrightarrow2m=-8\Leftrightarrow m=-4\)

Dùng phép chia đa thức để phân tích C

\(\Rightarrow C=1+\frac{x+4}{x^2+2x+1}\)

\(C=1+\frac{x+4}{\left(x+1\right)^2}\)

Đặt \(y=x+1\Rightarrow x=1-y\) thế vào C được:

\(C=1+\frac{y-1+4}{y^2}=1+\frac{y+3}{y^2}\)

\(=1+\frac{y}{y^2}+\frac{3}{y^2}=1+\frac{1}{y}+\frac{3}{y^2}\)

Đặt \(t=\frac{1}{y}\) thế vào C ta được:

\(C=1+t+3t^2\)

\(=3\left(t^2+\frac13t+\frac13\right)=3\left\lbrack\left(t+\frac16\right)^2-\frac{1}{36}+\frac{12}{36}\right\rbrack\)

\(=3\left\lbrack\left(t+\frac16\right)^2+\frac{11}{36}\right\rbrack=3\left(t+\frac16\right)^2+\frac{11}{12}\)

Vì \(\left(t+\frac16\right)^2\ge0\Rightarrow3\left(t+\frac16\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow3\left(t+\frac16\right)^2+\frac{11}{12}\ge\frac{11}{12}\)

Vậy min C bằng \(\frac{11}{12}\)

Mệnh đề phủ định:

\(∀a,b,c∈R\) ,nếu \(a+b+c\ne0\) thì \(-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=ab+bc+ca\)

Kiểm chứng: Giả sử \(-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow-a^2-b^2-c^2=2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

Mà \(\left(a+b+c\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=0\Rightarrow a+b+c=0\)

Mà theo đề bài a+b+c khác 0

=> Mệnh đề phủ định sai